然后由对数函数的单调性解之． 解答： 解：由f（﹣x）=﹣f（x），，即2222， =， 1﹣x=（2+a）﹣ax 22此式恒成立，可得a=1且（a+2）=1，所以a=﹣1 则 即 解得﹣1＜x＜0 故选A 点评： 本题主要考查奇函数的定义，同时考查对数函数的单调性． 16．（2006?东城区二模）己知y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x﹣2，那么不等式的解集是（ ） A． C． 或 B． D． 或 考点： 奇函数． 专题： 计算题；分类讨论． 分析： 由函数是奇函数和当x＞0时，f（x）=x﹣2，求出函数的解析式并用分段函数表示，在分三种情况求不等式的解集，最后要把三种结果并在一起． 解答： 解：∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0， 设x＜0，则﹣x＞0，∵当x＞0时，f（x）=x﹣2，∴f（﹣x）=﹣x﹣2， ∵f（x）=﹣f（﹣x），∴f（x）=x+2， ∴f（x）=， ①当x＞0时，由x﹣2＜，解得0＜x＜， ②当x=0时，0＜，符合条件， ③当x＜0时，x+2＜，解得x＜﹣， 综上，的解集是或． 故选D． 点评： 本题的考点是奇函数性质的应用，考查了由奇函数求出解析式，再根据解析式对x分类求解不等式的解集，注意f（0）=0这是易忽视的地方．
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17．（2012?乐山二模）已知函数 A．B． 是奇函数，则2 C． =（ ）
D． ﹣2 考点： 奇函数；函数的值． 专题： 计算题． 分析： 先由函数是奇函数，f（0）=0，求出参数a的值，再把a的值代入函数解析式，计算． 解答： 解：∵函数是奇函数，∴f（0）=0，即，=0，解得，a=2 ∴，=f（1）== 故选A 点评： 本题考查了函数的奇偶性，属于基础题，必须掌握． 18．（2012?西城区二模）给定函数：①y=x；②y=x﹣1；③y=sinx；④y=log2x，其中奇函数是（ ） ①② ③④ ①③ ②④ A．B． C． D． 考点： 奇函数． 专题： 计算题． 分析： 利用奇函数的概念f（﹣x）=﹣f（x）对①②③④逐个判断即可． 333解答： 解：∵函数y=f（x）=x，满足f（﹣x）=（﹣x）=﹣x， 32
∴y=f（x）=x为奇函数，故①正确； 同理可证，y=sinx为奇函数，故③正确； 对于②，y=x﹣1为偶函数，故②错误； 对于④，y=log2x的定义域为{x|x＞0}，不关于原点对称，故④y=log2x为非奇非偶函数，故④错误． 综上所述，只有①③正确， 故选C． 点评： 本题考查奇函数的概念，掌握奇函数的定义f（﹣x）=﹣f（x）是根本，属于基础题． 19．（2012?焦作模拟）下列函数中，既是奇函数，又是减函数是（ ） 3 A．f（x）=﹣x|x| B． C． f（x）=cosx（x∈[0，π]） D． f（x）=x f（x）= 考点： 奇函数；偶函数． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 对于A f（x）=﹣x|x|，经检验满足奇函数，且是减函数，故A满足条件．对于函数（x）=x3，是奇函数，但在R上是增函数，故不满足条件．对于C、D中的函数，由于由于定义域不关于原点对称，故不具备奇偶性． 解答： 解：对于f（x）=﹣x|x|，由于f（﹣x）=x|x|=﹣f（x），故是奇函数． 当x增大时，f（x）的值减小，故是减函数，故A满足条件． 3对于函数（x）=x，是求函数，但在R上是增函数，故不满足条件． 对于f（x）=cosx，由于定义域为[0，π]，不关于原点对称，故函数不是奇函数． 32对于f（x）=
，由于定义域为（ 0，+∞），不关于原点对称，故函数不是奇函数．
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故选A． 点评： 本题主要考查函数的奇偶性的判断方法，属于基础题． 20．（2011?绵阳三模）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A．B． y=log3|x|，x∈R且x≠0 y=，x∈R C．y=sinx，x∈（﹣，） 3D． y=﹣x，x∈R 考点： 奇函数；函数单调性的判断与证明． 专题： 证明题． 分析： 根据奇函数与偶函数的判断方法对四选项时行判断，A选项用指数函数的性质判断；B选项用对数函数的性质判断；C选项用正弦函数的性质进行判断；D选项用幂函数的性质进行判断． 解答： 解：A选项不正确，它不是一个奇函数； B选项不正确，因为它是一个偶函数，且不是单调函数； C选项不正确，因为它不是单调函数； D选项正确，函数是奇函数，且在R上是减函数． 故选D 点评： 本题考查 奇函数与单调减函数的判断，解题的关键是对四个选项中所涉及的函数的性质掌握得比较熟练，这样就可以快速作出判断． 21．（2010?崇明县一模）函数f（x）=x|sinx+m|+n为奇函数的充要条件是（ ） 22 mn=0 m+n=0 A．B． C． D． m﹣n=0 m+n=0 考点： 奇函数；必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题： 计算题． 分析： 由奇函数的定义可得﹣x|﹣sinx+m|+n=﹣（x|sinx+m|+n ），等价转化可得答案． 解答： 解：函数f（x）=x|sinx+m|+n为奇函数，等价于﹣x|﹣sinx+m|+n=﹣（x|sinx+m|+n ）， 等价于n=0，且|﹣sinx+m|=|sinx+m|，等价于 m=n=0， 故选 A． 点评： 本题考查奇函数的定义，充要条件的定义，得到对任意实数x，都有﹣x|﹣sinx+m|+n=﹣（x|sinx+m|+n ），是解题的关键． 22．（2009?深圳二模）已知定义在R上的奇函数f（x）的图象关于直线x=1对称，f（﹣1）=1，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2009）的值为（ ） 0 1 2 A．﹣1 B． C． D． 考点： 奇函数；函数的值． 专题： 计算题；规律型． 分析： 先根据奇函数的性质得到f（0）=0，再由对称性得到f（2）=f（0）=0，再由奇函数和关于直线x=1对称得到f（4）=f（﹣2）=0，同样得到当x为偶数时，f（x）=0；根据f（﹣1）=1和f（x）为奇函数得到f（1）=﹣f（﹣1）=﹣1，再由函数f（x）关于直线x=1对称得到f（3）=f（﹣1）=1，进而可得到当x为奇数时，f（x）=1或者﹣1交替出现，进而可得到f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2009）的值． 解答： 解：根据奇函数性质，f（0）=0 ∵f（x）关于直线x=1对称，∴f（2）=f（0）=0 再由奇函数性质，f（﹣2）=﹣f（2）=0 再由关于直线x=1对称性质，f（4）=f（﹣2）=0 ∴f（﹣4）=﹣f（4）=0 ∴f（6）=f（﹣4）=0 13
… ∴当x为偶数时，f（x）=0 由题意，f（﹣1）=1 根据奇函数性质，f（1）=﹣f（﹣1）=﹣1 根据关于直线x=1对称性质，f（3）=f（﹣1）=1 不难得出，当x为奇数时，f（x）=1或者﹣1，交替出现 最后出现的一个是f（2009），很明显f（2009）=﹣1，前面的2008个全部抵消掉了 故而最终结果就是﹣1 故选A． 点评： 本题主要考查函数的基本性质﹣﹣奇偶性、对称性．函数是高中数学的核心内容，每一个地方都离不开函数，对于其基础性质一定要熟练掌握． 23．（2011?广安二模）已知f（x）是R上的偶函数，将f（x）的图象向右平移一个单位后，得到一个奇函数的图象，且 f（2）=﹣2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2001）=（ ） 0 2 A．B． C． ﹣2 D． ﹣4022 考点： 奇函数；偶函数． 专题： 计算题． 分析： 由于f（x）是R上的偶函数，所以该函数有对称轴x=0，函数f（x）在右移之前有对称中心（﹣1，0），故函数f（x）存在周期T=4，在利用题中的条件得到函数在一个周期内的数值，利用周期性即可求解． 解答： 解：∵f（x）是R上的偶函数，∴图象关于y轴对称，即该函数有对称轴x=0， 又∵将f（x）的图象向右平移一个单位后，则得到一个奇函数的图象， 由于奇函数的图象关于原点对称，此点是由函数f（x）的图象的对称中心右移一个单位得到 ∴函数f（x）的图象有对称中心（﹣1，0），即f（﹣1）=0， 因为f（﹣x）=f（x），f（﹣x﹣1）=﹣f（x﹣1）， ∴f（x+1）=﹣f（x﹣1），即f（x+1）=f（x﹣3）， ∴函数f（x）存在周期T=4，又f（2）=﹣2，f（﹣1）=0， 利用条件可以推得：f（﹣1）=f（1）=0，f（2）=﹣2，f（3）=f（4﹣1）=0， f（﹣3）=f（3）=0，f（4）=f（0）=2，所以在一个周期中f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0， 所以f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2001）=f（0）=0． 故选A． 点评： 此题考查了利用函数的对称性及奇偶性找到函数的周期，在利用已知的条件求出函数值． 24．如果奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f（x）在区间[﹣7，﹣3]上是（ ） A．增函数且最小值为﹣5 B． 增函数且最大值为﹣5 减函数且最小值为﹣5 C．D． 减函数且最大值为﹣5 考点： 奇函数． 专题： 压轴题． 分析： 由奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致及奇函数定义可选出正确答案． 解答： 解：因为奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数， 所以f（x）在区间[﹣7，﹣3]上也是增函数， 且奇函数f（x）在区间[3，7]上有f（3）min=5， 则f（x）在区间[﹣7，﹣3]上有f（﹣3）max=﹣f（3）=﹣5， 故选B． 点评： 本题考查奇函数的定义及在关于原点对称的区间上单调性的关系． 25．设f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，f（x+2）=﹣f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（7.5）等于（ ） 0.5 1.5 A．B． ﹣0.5 C． D． ﹣1.5 14
考点： 奇函数． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 题目中条件：“f（x+2）=﹣f（x），”可得f（x+4）=f（x），故f（7.5）=f（﹣0.5）=﹣f（0.5）=﹣0.5． 解答： 解：∵f（x+2）=﹣f（x），∴可得f（x+4）=f（x）， ∵f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数 ∴f（﹣x）=﹣f（x）． ∴故f（7.5）=f（﹣0.5）=﹣f（0.5）=﹣0.5． 故选B． 点评： 本题考查函数的奇偶性、周期性等，抽象函数是相对于给出具体解析式的函数来说的，它虽然没有具体的表达式，但是有一定的对应法则，满足一定的性质，这种对应法则及函数的相应的性质是解决问题的关键． 26．已知f（x）=x+ax+bx﹣8，且f（﹣2）=10，那么f（2）等于（ ） 10 A．﹣26 B． ﹣18 C． ﹣10 D． 考点： 奇函数． 专题： 计算题；转化思想． 53分析： 函数f（x）不具备奇偶性，但其中g（x）=x+ax+bx是奇函数，则可充分利用奇函数的定义解决问题． 解答： 解：令g（x）=x5+ax3+bx，由函数奇偶性的定义，易得其为奇函数； 则f（x）=g（x）﹣8 所以f（﹣2）=g（﹣2）﹣8=10 得g（﹣2）=18 又因为g（x）是奇函数，即g（2）=﹣g（﹣2） 所以g（2）=﹣18 则f（2）=g（2）﹣8=﹣18﹣8=﹣26 故选A． 点评： 本题较灵活地考查奇函数的定义． 53
27．设函数 A．B． ﹣4 若f（x）是奇函数，则g（2）的值是（ ）
C． 4 D． 考点： 奇函数；函数的值． 专题： 计算题． x分析： 由f（x）是奇函数得f（x）=﹣f（﹣x），再由x＜0时，f（x）=2，求出g（x）的解析式，再求出g（2）的值． x解答： 解：∵f（x）为奇函数，x＜0时，f（x）=2， ∴x＞0时，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣2=即，． ﹣x， 故选A． 点评： 本题考查了利用奇函数的关系式求函数的解析式，再求出函数的值，注意利用负号对自变量进行范围的转化． 28．设
，则使得f（x）=x为奇函数，且在区间（0，+∞）上单调递减的n的个数是（ ）
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