1 2 3 4 A．B． C． D． 考点： 奇函数． 专题： 计算题． 分析： 根据幂函数的指数大于0，则在区间（0，+∞）上单调递增，可排除n=，1，2，3的可能，然后判定当n=﹣1时，f（x）=是否满足条件即可． 解答： 解：f（x）=x，当n＞0时函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，故，1，2，3都不符合题意 当n=﹣1时，f（x）=，定义域为{x|x≠0}，f（﹣x）=﹣=﹣f（x），在区间（0，+∞）上单调递减，故正确 故选A． 点评： 本题主要考查了幂函数的性质，同时考查了函数奇偶性的判定，属于基础题． 29．已知定义在R上的函数f（x）为奇函数，且函数f（2x+1）的周期为5，若f（1）=5，则f（2009）+f（2010）的值为（ ） 5 1 0 A．B． C． D． ﹣5 考点： 奇函数；函数的周期性． 专题： 计算题． 分析： 利用函数f（2x+1）的周期性写出一个等式，通过换元得到f（x）的周期，利用周期性得到f（2009）=f（﹣1），f（2010）=f（0），利用奇函数求出f（﹣1），f（0）的值． 解答： 解：∵函数f（2x+1）的周期是5 ∴[2（x+5）+1]=f（2x+1） 即f（2x+11）=f（2x+1） 即f（y+10）=f（y） 故函数f（x）的周期是10 ∴f（2009）=f（﹣1），f（2010）=f（0） ∵函数f（x）为定义在R上的奇函数 ∴f（0）=0，f（﹣1）=﹣f（1）=﹣5 ∴f（2009）+f（2010）的值为﹣5． 故选D 点评： 解决函数的周期性、单调性、奇偶性的问题，一般利用各个性质的定义得到一些已知条件中没有的等式，通过它们，判断出函数的其它性质． 30．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x﹣4）=﹣f（x），在[0，2]上f（x）是增函数，则下列结论：①若0＜x1＜x2＜4，且x1+x2=4，则f（x1）+f（x2）＞0；②若0＜x1＜x2＜4，且x1+x2=5，则f（x1）＞f（x2）；③若方程f（x）=m在[﹣8，8]内恰有四个不同的角x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=±8，其中正确的有（ ） A．0个 B． 1个 C． 2个 D． 3个 n考点： 奇函数． 专题： 压轴题；数形结合． 分析： 由条件“f（x﹣4）=﹣f（x）”得f（x+8）=f（x），说明此函数是周期函数，又是奇函数，且在[0，2]上为增函数， 由这些画出示意图，由图可解决问题． 解答： 解：此函数是周期函数，又是奇函数，且在[0，2]上为增函数， 综合条件得函数的示意图，由图看出， 16
①若0＜x1＜x2＜4，且x1+x2=4，f（x）在[0，2]上是增函数，则f（x1）＞f（x1﹣4）=f（﹣x2）=﹣f（x2）；则f（x1）+f（x2）＞0；故①正确； ②若0＜x1＜x2＜4，且x1+x2=5，f（x）在[0，2]上是增函数，由图可知：f（x1）＞f（x2）；故②正确； ③当m＞0时，四个交点中两个交点的横坐标之和为2×（﹣6），另两个交点的横坐标之和为2×2，所以x1+x2+x3+x4=﹣8． 当m＜0时，四个交点中两个交点的横坐标之和为2×（﹣2），另两个交点的横坐标之和为2×6，所以x1+x2+x3+x4=8．故③正确； 故选D． 点评： 数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷． 17