1
行列式的计算方法
摘要：线性代数主要内容就是求解多元线性方程组，行列式产生于解线性方程组, 行列式的计算是一个重要的问题。本文依据行列式的繁杂程度，以及行列式中字母和数字的特征，给出了计算行列式的几种常用方法：利用行列式的定义直接计算、化为三角形法、降阶法、镶边法、递推法，并总结了几种较为简便的特殊方法：矩阵法、分离线性因子法、借用“第三者”法、利用范德蒙德行列式法、利用拉普拉斯定理法，而且对这些方法进行了详细的分析，并辅以例题。 关键词：行列式 矩阵 降阶
The Methods of Determinant Calculation
Abstract：Solving multiple linear equations is the main content of the linear algebra, determinants
produced in solving linear equations, determinant calculation is an important issue.This article is based on the complexity degree of the determinant, and the characteristics of letters and numbers of the determinant ,and then gives several commonly used methods to calculate the determinant: direct calculation using the definition of determinant, into the triangle, reduction method, edging method , recursion, and summarizes several relatively simple and specific methods: matrix, linear separation factor method, to borrow \method, using Laplace theorem,also analyze these methods in detail,and supported by examples.
Keywords: determinant matrix reduction.
2
1．引言
线性代数主要内容就是求解多元线性方程组，行列式产生于解线性方程组,然而它除了用于研究线性方程组、矩阵、特征多项式等代数问题外,还在各种工程领域有着广泛的应用,是一种不可缺少的运算工具，所以说行列式的计算是一个重要的问题。
二阶行列式：三阶行列式：
a11a21a31a12a22a32a13a23?a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32?a13a22a31?a11a23a32?a12a21a33⑵ a33a11a21a12a22?a11a12?a12a21⑴
由此可以看出二阶、三阶行列式计算结果的一些规律：
1⑵中每项都是三个数的乘积，○并由行标与列标可以看出，这三个数分别取
自行列式的不同行与不同列；
2⑵式正好有6项，它恰好是1，2，3全排列的个数。 ○
?(j1j2j3)3每项a,a○前面的符号为，其中?(j1j2j3)为j1j2j3的逆序(?1),a1j12j23j3数。
这就是比较简单的采用对角线的方法计算行列式。
在行列式的定义中，虽然计算结果的每一项是n个元素的乘积，但是由于这
n个元素是取自不同的行与列，所以对于某一确定的行中的n个元素(譬如a11,a12?a1n)来说，每一项都含有其中的一个且只含有其中的一个元素，而n级行列式一共有n!项，计算它就需要做n!(n?1)个乘法。当n较大时，n!是一个相当大的数字，直接从定义采用对角线法计算行列式几乎是不可能的事，[1]本文依据行列式元素间的规律和行列式的性质总结了计算行列式几种常用和特殊的方法。
2. 计算行列式的常用方法
2.1 利用行列式的定义直接计算
3
根据行列式的定义Dn=
j1j2?jn?(?1)?(j1j2?jn)a1j1a2j2?anjn，可以利用行列式的定
义直接计算低阶稀疏行列式。 例1. 利用行列式的定义计算n阶行列式
010?002? Dn =???00?
000?n?1n00?0解：根据行列式的定义，行列式展开后等于所有取自不同行不同列的n个元素的
乘积，通过观察可知Dn的展开式中只有一个非零项12?(n?1)n?n!，这一项行标排列具有自然顺序排列，对应的列标排列为23?n1，其逆序数为n?1,故Dn?(?1)n?1n! 当行列式的元素中有较多0时，可以利用定义法进行计算，但如果元素中出现较多非0元素时，这种方法就不易求解。 2.2 利用化为三角形的方法计算
利用行列式的性质把行列式通过一系列的变换转化成位于主对角线一侧的元素全为零的行列式,这样得到的行列式的值就等于主对角线上所有元素的乘积。而对于非零元素位于次对角线的情形,行列式的值等于(?1)上所有元素的乘积。
例2 利用上三角形法计算n阶行列式
n(n?1)2与次对角线
?1?x1?2?1?2?x2?2 Dn??1???3?3?3?x3?????n?n?n?
?1?1?x1解：Dn?x1x1?x1?2?2?x20?0?3?3?0??x3??0??n?xn?n00 ???xn 4
?1x1 ?x1x2?xn?111?1?2x2?10?0?1?3x30?0???nxn00?
?1???1?xi?1n?i00?0i?2x2?10?0?3x30?0???nxn00?
?x1x2?xn?1???1 ?(?1)n?1x1x2?xn?i?1n?ixi?1
在例2中，行列式的每一行对应元素中包含有相同的元素，这样使用化三角形法较为简便，但当行列式的元素不相同且无规律时，计算量就会增加不少，此时这种方法并不简单。 2.3 利用降阶法计算行列式
在计算行列式的时候可以根据行列式元素间的规律，依据行列式的性质或行列式按行（列）展开定理，将一个n阶行列式化为n个n?1阶行列式来计算。若再继续使用按行（列）展开法，可以将n阶行列式降阶然后一直化为多个2阶行列式来计算。
例3. 利用降阶法计算n阶行列式
ab0?000ab?00?? Dn????000?abb00?0a
解：依据行列式按行（列）展开的定理，将Dn按第一行展开，即得：
ab?000a?00???bDn?a??00?ab00?0a
0b?000a?00???? 00?abb0?0a5