x Dn?2ax(x?b)a?1??2x(x?b)2a?12??22??x(x?b)n?1a?1n?1??2n?1??2a?n?2??n?12a2?n?1?n?2222?n?1??2n?1n?1??n?1??n?2??n?1?2?n?1n?1
其中?i??j(i?j)
a2bx?b(x?b)2??(x?b)n?1解：Dn?2x??a2a?n?2??n?1a?1??2?12??22??1n?1??2n?1?
?n?1?n?22??n?12??n?2n?1??n?1n?1?n?12??n?1n?1将行列式最后一行乘以（-1）后再加到上一行去，并以此类推，直至第2行为止，得
1x?b(x?b)2?(x?b)n?11Dn?2x1?1?1?2??12?22?????1n?1?2n?1?
?n?1?n?12?n?1n?1显而易见，Dn是一个关于x的多项式D(x)，且Dn(0)=0 由行列式的性质知
Dn(?1?b)?0, Dn(?2?b)?0??Dn(?n?1?b)?0 所以 Dn(x)的根为0，?1?b,a?2?b,??,?n?1?b 故 Dn?px?(x??1?b)(x??2?b)?(x??n?1?b) 进而可得Dn(x)的n次项系数，令其为p，即
1?11?2 p?(?1)n?12???1?n?1?12?22????1n?2?2n?1? =(?1)n?12?n?1?i?j?1?(?i??j)
?n?12??n?1n?2综上可得：Dn?(?1)n?1?2?n?1?i?j?1?(?i??j)??x(x???b)
i?1n?1 11
=2xn?1?i?j?1?(?i??j)?(?i?b?x)
i?1n?13.2.3 利用分离线性因子法的注意
能够利用分离线性因子法进行计算的行列式大都是含有字母变量（参数）的行列式，当某个变量（参数）取某个特定值的时候行列式的值为0，则该行列式必含有某个特定因子。[3]类如：
1a1a 1?a1a121a2a2?a2a22???1anan?2n?2n?1n?2n?1?an?ann?2n?10a、bca0cbbc0ac1?a111b11?a11、等 a111?b101111?b3.3 借用“第三者”法
借用“第三者”法计算行列式，就是当所给的行列式A不易计算时，乘以一个适当的值不为0的行列式B，且AB?BC(C?0),使其转化为求乘积的行列式。使用这种方法有优越，但B的选取不易，需要有足够的知识和经验。 例8 计算n阶行列式
A??0?1?2??n?2?n?1?n?1?0?1??n?3?n?2?????
?1解：取???11B?12?n?2?3??n?1?cos1?02?2??isin，f(x)??0??1(x)????n?1xn?1 nn11?????2?n?2?2(n?2)?n?1?2(n?1)
????1?n?1??(n?1)(n?2)?(n?1)(n?1)f(?n?1)f(1)f(1)AB??f(?)??f(?)???2(n?1)f(?n?1)
?2f(1)?n?1f(?)??(n?1)f(?n?1) 12
f(1) =Bf(?)?f(?n?1)
?B?0 ?A??f(?k)
k?0n?1上题中不但计算出了行列式A的值，而且同时也证明了A相似于一个对角矩阵。
3.4 利用范德蒙德行列式来计算
范德蒙德行列式是一类比较特殊的行列式，通过观察其中的任一列可以发现，它都是某个数（字母）的不同方幂，且从上至下其幂次数由0递增至n?1，通过证明已经得知n阶范德蒙德行列式的值就等于组成这个行列式的n个元素的所有可能差的乘积。利用范德蒙德行列式的时候，应先根据范德蒙德行列式的特点，将所给的行列式转化为范德蒙德行列式，再利用其结果计算出所给行列式的值。
例9 利用范德蒙德行列式计算n阶行列式
1?a11?a1?1?a12n1?a21?a2?1?a2 Dn?
???2n1?an1?an?1?an2n解： 镶边得
1002?0n11?a11?a1?1?a12n Dn?11?a21?a2?1?a2
????11?an1?an2?1?ann再将第一列的（-1）倍加到其它各列得：
11Dn?1?1
?1?12a1a12a2a2??2anan??1n?a1n?a2
??ann13
2
将此行列式拆分为两项即得
2002?0n1112?1n1a1 Dn?1a2??1ana1?a11a12na2?a2-1a2????an2a1?a12na2?a2 ??an12?ann1ann?1n?1?an0n1a1?a10?n?10 =2a1a2?an1a2?a2???n?11an?an1a1?1a1(a1?1)?a1(a1?1)n?1?1a2?1a2(a2?1)?a2(a2?1) ????1an?1an(an?1)?an1?j?i?nn?1(an?1) =2a1a2?an?1?j?i?n?(ai?aj)?(a1?1)(a2?1)?(an?1)?(ai?aj)
=[2a1a2?an?(a1?1)(a2?1)?(an?1)]?3.5 利用拉普拉斯定理展开计算
1?j?i?n?(ai?aj)
拉普拉斯定理：设在行列式D中任意取定了k(1?k?n?1)个行，由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D。 在利用拉普拉斯定理计算行列式的时候，应先根据行列式的性质对所给行列式进行转换，使其每行（列）的0元素尽可能的多，然后再利用行列式按行（列）展开定理将其中含0元素多的某一行（列）进行展开。实质上，拉普拉斯定理是对行列式按行（列）展开定理的推广。[1] 例10 利用拉普拉斯定理计算n阶行列式
120?1 D?1001121341 31解：在所给行列式中取定第一、二行，得到六个子式：
M1?121114， M2?， M3? 0?10201212414， M5?, M6? ?12?1121M4?它们对应的代数余子式为
????A1?(?1)(1?2)?(1?2)M1?M1, A2?(?1)(1?2)?(1?3)M2??M2
14
????A3?(?1)(1?2)?(1?4)M3??M5, A4?(?1)(1?2)?(2?3)M4?M4 ????A5?(?1)(1?2)?(2?4)M5??M5, A6?(?1)(1?2)?(3?4)M6?M6
根据拉普拉斯定理得
D?M1A1?M2A2???M6A6 ?121311031401 ??0?13102110113211324111410 ???1201?11032101 ? ?(?1)?(?8)?2?(?3)?1?(?1)?5?1?6?3?(?7)?1 ?8?6?1?5?18?7??7 例11利用拉普拉斯定理计算n阶行列式
a?? Dn?????????bb?bb?b?b
bb??b?b?b??b???解：如果从第3行开始每一行都减去第2行，再从第3列开始每一列都加到第2
列，可使行列式中更多的元素变为0。
a?? Dn?????????bb?bb?b?b
bb??b?b?b??b???a? =
00?0??b??b???b???b?b0?0????b00???b0?0??b?
???b 15