0b?000a?00?? ?an?b??00?abb0?0a
然后将后面的行列式按第一列展开，即得
b0?00ab?00???an?(?1)n?1bn ???00?b000?ab Dn?an?bb(-1)n值得注意的是，根据行列式的性质利用降阶法时，应该将某行（列）元素尽可能多地变成零，之后再按行（列）展开，这样计算才能体现出降阶法计算行列式的简便性，但是针对一些构造特殊的行列式，因为n阶行列式Dn的第i行构成
k的k级子式有Cn个，故一般行列式只是能降阶而不能减少其计算量，这种方法
往往无效。[2]
利用降阶法可以计算行列式，那是不是也可以通过加边使其变成一个相等的
n?1阶行列式呢？
2.4 镶边法
a11a21一个n阶行列式
?an1a12?a1na22?a2n，如果a11a12?a1n或a11a21?an1中除了a11??an2?ann外其余元素全为0，那么该行列式便可利用行列式按行（列）展开定理将其转化为一个计算n?1阶行列式。反过来，也可以利用相同的方法把一个n阶行列式转化为一个与之相等的n?1阶行列式，这就是镶边法。
2.4.1 镶边法解题步骤
1通过加边（列）的方法把一个n级行列式转化为一个与之相等的n?1阶 ○
行列式；
2根据行列式的性质把添加进去的行（列）的适当的倍数加到其它行（列）○
使其它行（列）出现更多的0元素后再进行计算。
2.4.2 镶边的一般方式
6
[3]
1首行首列 ○2首行末列 ○3末行首列 ○4末行末列。○
当然也可以添加在行列式任意某一行与某一列的位置，但是等价变形后，总变成上述四种情况之一。 例4 利用镶边法计算n阶行列式
x1?y1x2?x2?xnxn??xn?yn(y1y2?yn?0)
x1?x1x2?y2? Dn?1x1x2?xnxnxn?0x1?y1x1解： Dn?0??01x1x1x2x2?x2?y2??x2?xn00 ?
?xn?yn?1y1 ??10??1?00?y2??0?yn1? ?xx1???ny1yn00?0x1y10?0x20?0?xn?00??yn
y2? ?y1y2?yn(1?2.5 递推法
xx1???n) y1yn 递推法就是利用行列式元素间的规律，在n阶与n?1阶（或更低阶）行列式之间建立递推关系，再利用所得的关系式计算行列式的值。递推法主要是降阶递推法，常见的有两种类型：
1.Dn?LDn?1型；这时根据递推关系可推出关系式Dn?Ln?1D1 2.Dn?pDn?1?qDn?2(n?2,q?0)型；
这时可设?、?是方程x2?px?q?0的根，则由根与系数的关系可得
7
????p,????q，于是有：
Dn-?Dn?1??(Dn?1??Dn?2) (Ⅰ) Dn??Dn?1??(Dn?1??Dn?2) (Ⅱ) 若???，则由（Ⅰ）和（Ⅱ）得
?n?1(D2??D1)??n?1(D2??D1) Dn????注意又由（Ⅰ）和（Ⅱ）递推可得
Dn??Dn?1??n?2(D2??D1) Dn??Dn?1??n?2(D2??D1)
若???，则（Ⅰ）和（Ⅱ）可变成Dn??Dn?1??(Dn?1??Dn?2)，即
Dn??Dn?1??n?2(D2??D1)， 故Dn??Dn?1??n?2(D2??D1)
=?(?Dn?2??n?3(D2??D1))??n?2(D2??D1) =?2Dn?2?2?n?2(D2??D1)
=?2(?Dn?3??n?4(D2??D1))?2?n?2(D2??D1) =?3Dn?3?3?n?2(D2??D1) =??以此类推，最后可得： Dn??n?1D1?(n?1)?n?2(D2??D1) 例5 利用递推法计算n阶行列式
210?00121?00012?00?????000?21000?12 Dn=
解：由于Dn?2Dn?1?Dn?2，则不妨设?、?是方程x2?2x?1?0的根，则：
8
????1。
于是Dn?1n?1D1?(n?1)1n?2(D2?D1)?(2?n)D1?(n?1)D2 其中：D1?2,D2?21?4?1?3； 12所以：Dn?(2?n)D1?(n?1)D2?4?2n?3n?n?1 即原式?n?1
上面介绍的几种计算行列式的方法都是比较常用的，同时通过上面的例题分析和解题过程可以发现，上述几种计算方法只是适用一些行列式较为简单和行列式元素间具有明显规律的情况，而对于一些比较特殊或行列式元素间的关系隐藏较深的行列式，就要通过其它的途径来解决问题，下面给出几种计算行列式的特殊方法。
3．计算行列式的几种特殊方法
3．1 矩阵法
如果一个行列式的对应矩阵可以转化为两个矩阵的乘积，而且这两个矩阵所对应的行列式都比较容易计算，即可利用公式AB=AB计算出n阶行列式的值。[4]
例6 利用矩阵法计算n阶行列式
1?a1b11?a1b1 Dn??nn1?anb11?anb1nn1?a1bn?1?a1bn ?nn1?anbn?1?anbnnn解：该行列式的第i行第j列元素可化为
?1???b?j?22n?1?(1,ai,ai,?,ai)?bj?
??????bn?1??j?1?aibj1?aiajnn?1?aibj?a2b2???ain?1bjn?1 所以该行列式可转化为两个矩阵乘积的行列式，即
9
11 Dn?1?111 =1?1 =
a1a2a3?ana1a2a3?ana12a22a3?nana12a22a3?2an22?a1n?1?a2n?1?a3?n?1?ann?1111?1b1b2b3?bn2222b1b2b3?bn ????n?1n?1n?1n?1b1b2b3?bn1b32b3?b3n?1n?111?a1n?1b1b2?a222n?1b1b2?a3???n?1n?1n?1b1b2?an???1bn2bn ?n?1?bn1?i?j?n?(aj?ai)1?i?j?n?(bj?bi)?1?i?j?n?(aj?ai)(bj?bi)
3.2 分离线性因子法
3.2.1 分离线性因子法
分离线性因子法就是把行列式看成含有一个或一些字母的多项式，将它变换，如果它可被一些因子互素的线性因子所整除，同时它也可被这些因子的积所整除，就可将行列式的某些项与线性因子的项进行比较，继而找出多相式的所有因子，然后用这些因子的乘积除行列式的商，从而求得行列式的表达式。
3.2.2 一般的解题思路
1如果行列式D有些元素是某一变量○（参数）的多项式，不妨设此变量为a，n那么可将该行列式Dn 看作关于a的多项式f(a)，然后找出因子互素的线性因子
g(a),h(a)，即f(a)?h(a)?g(a)；
2在h(a)和g(a)中选出一个特殊项进行比较，如果g(a)与f(a)的次数相 ○
等，就用待定系数法，确定出h(a)的值；如果g(a)的次数比f(a)的次数小，继续找出h(a)的线性因子，直至将f(a)的所有线性因子全部找出，从而求出行列式Dn的值。
例7 利用分离线性因子法计算n阶行列式
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