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A 卷 广州大学2014-2015学年第2学期考试卷
课程信息论与编码理论2考试形式（闭卷，考试）
学院系专业 班级学号姓名_ 题次 分数 评分 一 15 证明：
网上答案：根据线性分组码的封闭性可知，任意两个码字的和仍为码中的码字。根据码字之间的距离的定义，两个码字和的非零符号的个数即为它们之间的距离，而两个码字和的非零符号的个数又是新码字的重量。所以，线性分组码的最小距离必为它的非零码字的最小重量。
下面这个是林鑫杰的做法，使用反证法去证明~你们觉得哪个顺眼就用哪个~
二 15 三 20 四 10 五 20 六 20 七 八 九 十 总分 评卷人 一：（15分）证明二元线性码的最小Hamming距离等于线性码的最小Hamming重量。
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二：（15分）假设二元线性码的最小Hamming距离为d，证明其纠错能力t≤(d-1)/2。 下面这个也是林鑫杰的做法~对于证明题真的是hold 不住。。。建议把它理解后背下来。
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鑫杰别打我！偷偷拍了之后放上来的。
三：（20分）设一个[7,4,3]线性码的标准形生成矩阵为
求：（1）校验矩阵H;（2）1111111, 0101010, 1010101的译码。
解：
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（1）PPT6上有一个定理6.8 ：
对于一个q元[n,k]线性码C,如果生成矩阵为标准型G=(Ik|A),则其校验矩阵为
H=(-AT|In-k)
[7,4,3]分别代表n,k,d，即n=7，k=4，d=3。那么G=(Ik|A)就等于G=(I4|A)，I代表着单位矩阵，就是对角线(左上到右下)全是1。看到题目中G的形式应该就是左边那四列，即
那么A就是右边那三列
型如(Ik|A)的生成矩阵为标准型生成矩阵，如果题目给的并不是标准型的生成矩阵，那么就通过行列变换得到标准型，记得左边一定要是单位矩阵哦~
那么问题来了，题目要我们求得校验矩阵是什么东西呢。再看看上面的红字定理吧！ 对于一个q元[n,k]线性码C,如果生成矩阵为标准型G=(Ik|A),则其校验矩阵为
H=(-AT|In-k)
H=(-AT|In-k)
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那么问题来了A是什么鬼，就是把A倒过来，即转置过来就行啦，但是并不是整个
矩阵形式化地倒过来，而是第一列变为第一行，第二列变为第二行，下面就是结果啦！再不懂的话就直接看高代书了哼╭(╯^╰)╮
那么问题来了，In-k是什么，就是前面说的单位矩阵呀宝宝，n-k=7-4=3，所以就是I3三行三列的单位矩阵
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那个负号就不用管它了，因为q是2所以是二元的，有负号跟没有负号是一样的，如果是三元域的话就是1加上负号就变成了2，2加上负号之后就变成1，你们只需要这么记就可以了。
回到正题，所以题目要我们求的校验矩阵H就是把A和In-k结合在一起就可以啦!
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第一小问就这样轻松地解决啦！
第二小问要看6PPT上面最后一张PPT
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[负号不管]
A I3
根据PPT第一步，先设y1=1111111,y2= 0101010,y3= 1010101 然后再求伴随式s(y)，那么问题来了，怎么求？再看一下倒数第二张PPT
原来如此！那么就是说把每个yi乘上H的转置H就可以得到s(yi)啦！ 而且H之前已经求出来啦H就是把H行变成列就行啦！还是不懂就去看前面！
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