五：（20分）假设x7-1=(x+1)(x3+x2+1)(x3+x+1)，构造一个（7,4）循环码，并给出生成矩阵G和校验矩阵H。 解：
做这道题先说明一下，如果题目没给怎么因式分解，你第一步就因式分解不出来就...[微笑] 好了，回归正题[严肃脸]。 然而有三个问。[微笑] 第一个是：构造(7,4)循环码 第二个是：求生成矩阵G 第三个是：求校验矩阵H 来吧！第一个问：
因为多项式已经给了，（7,4）代表的是n=7 k=4，n-k=3所以先取最高次是3的多项式，所以可以选x3+x2+1或x3+x+1，我这里选择g(x)= x3+x+1.
利用这条公式v(x)=u(x)g(x)就可以构造一个(7,4)循环码，其中v(x)是译出码字 先把u(x)全部写出来，由于在二元域上，则M=qk=24=16个。
u v u v u v
0000 0000000 1100 1011100 0011 0010111 0001 0001101 1010 1110010 1110 1000110 0010 0011010 1001 1100101 1011 11111111 0100 0110100 0110 0101110 0111 0100011 1000 1101000 0101 0111001 1101 1010001 1111 1001011 具体的v怎么算的呢？u(x)=u0+u1x+u2x2+u3x3
举个栗子！取u=1010，那么就是u0=1，u1=0，u2=1，u3=0 那么把系数都代进去就是u(x)=1+x2，然后再乘上g(x)=x3+x+1,，
得到v(x)=1+x+x2+x5，是不是有点意外为什么x3不见了，因为两个x3抵消啦~这样理解就可以了。然后就得到v(x)=1+x+x2+x5,提取里面的系数， x3,x4,x6前面的系数是零所以得到1110010啦！是不是很简单咧！接着把16个v(x)即循环码求出来就可以了。（第一问完毕） 题外话，建议你们把两个多项式都求一遍，因为作业上要求的是求两个多项式。 第二问开始！
这道题作业里面没有要求但是还是比较重要的，因为生成矩阵就是编码的灵魂啊！ 在循环码PPT上的第13张PPT左右。
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这种方法是根据循环码的特性去设定的，因为循环码本身就可以通过某些码字循环得到。废话太多了我，其实就是把x迭代上去乘上g(x)提取系数就可以了 因为第一问选择了g(x)=x3+x+1，哈哈第15张PPT居然有答案
嗯，简单易懂。
把乘上去的多项式系数写出来是码字，看到没！都是可以由其中一个码字循环右移得到的。 第三问！我来啦！校验矩阵H。是不是似曾相识前面的单位矩阵和A的结合。 但是循环码有更简便的方法，方法就在循环群第21张PPT：
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关键就是h(x)怎么求出来，因为我们前面取g(x)= x3+x+1，所以根据PPT上的公式，
xn-1=g(x)·h(x) x7-1=(x3+x+1)h(x) 算出h(x)=1+x+x2+x4
然后用前面的方法就可以求出矩阵再上下左右颠倒就可以得到H了。【不懂问我】 解题完毕
第23张PPT有答案。nice！完毕！
从这道题可以看出，由g (x)生成的码为C，在由h (x)生成的循环码就是C的对偶码C⊥，对偶码的基底的组合的颠倒就是C的校验矩阵啦！ 补充一点：电路图很有可能会考试。因为作业里面有要求。 刚好33页里面有答案。
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如果是g(x)=1+x2+x3那么左边的线
换为右边的线，即换为
g1=0和g2=1。整张电路图建议你们背下来吧。很有几率会考。真的。不卖萌。 略略略~
六：（20分）若p(x)=x4+x+1是不可约的，构造码长n=15且纠错能力为2的本原BCH码。
BCH码的译码非本原BCH码也不会考总之BCH码构造后面的知识都不会考了这道题绝对是重点！不了解绝对吃亏。难度系数：快要爆表。译码才是最**可怕的。还好没考。老子之前做了三天译码！！！还是在边问杰杰边百度的情况下做完。 解：
首先了解一下BCH构造步骤，BCH2PPT第九张
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已知条件n=15 t=2，根据n=2m-1，得到m=4。利用题目有的p(x)=x4+x+1构造： 下面开始构造：[加和减是一样的]
把 代进去，再根据 4+ +1去计算 4= ，以此类推，再举一个栗子： 就是这样利用 4去计算的。懂了么宝宝~
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