13?x3?xsinx解：?dx?3?dx??xdx??sinxdx
xx2 ?3lnx?x2?cosx?c
3102．(2x?1)dx
3?10解：(2x?1)dx??11110(2x?1)d(2x?1)??(2x?1)10?1?c ?2210?11(2x?1)11?c 221sin3．?2xdx
x1sin111解：?2xdx???sind()?cos?c
xxxx ?4．xsin2xdx
?11xdcos2x??(xcos2x??cos2xdx) ??22112x?sin2x?c ??xcos24解：xsin2xdx???x5．xedx
??x?x?x?x?x?x解：xedx??xde??(xe?edx)??xe?e?c
???四、极值应用题（每小题12分，共24分）
设矩形的周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。
解：设矩形的一边长为x厘米，则另一边长为60?x厘米，以60?x厘米的边为轴旋转一周
得一圆柱体，则体积V为：
1．
V??x2(60?x)，即：V?60?x2??x3
dVdV?0，得： ?120?x?3?x2，令dxdxx?0 （不合题意，舍去），x?40，这时60?x?20 由于根据实际问题，有最大体积，故当矩形的一边长为40厘米、另一边长为60厘米时，
才能使圆柱体的体积最大。
2．
欲用围墙围成面积为216平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两
块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？
解：设矩形的长为x米，则矩形的宽为
216米，从而所用建筑材料为： x 11
216648，即：L?2x? xxdLdL648216?0得：x?18（取正值）?2?2，令?12 ，这时dxdxxx由于根据实际问题，确实有最小值，故当矩形的长为18米，宽为12米时，才能使所用L?2x?3?建筑材料最省
五、证明题（本题5分）
函数f(x)?x?ex在（??,0)是单调增加的．
证明：因为f?(x)?1?ex，当x?（??,0)时，f?(x)?1?ex?0 所以函数f(x)?x?ex在（??,0)是单调增加的．
12
微积分初步形成性考核作业（四）解答
———定积分及应用、微分方程
一、填空题（每小题2分，共20分） 1．
1??1(sinxcos2x?x2)dx??52 3?2．
??(x2?2?4x?cosx)dx?___2___.
x，且曲线过(4,5)，则该曲线的方程
3．已知曲线y?f(x)在任意点x处切线的斜率为
21是y?x2?
334．若
3?1?1(5x3?3x?2)dx? 4 ．
5．由定积分的几何意义知，
?a01a2?x2dx??a2
46．7．
de2ln(x?1)dx? 0 . ?1dx?0??e2xdx?1 2x8．微分方程y??y,y(0)?1的特解为y?e ?3x9．微分方程y??3y?0的通解为y?ce
10．微分方程(y??)?4xy3(4)?y7sinx的阶数为 4 ．
二、单项选择题（每小题2分，共20分）
1．在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ A ）． A．y = x2 + 3 B．y = x2 + 4 C．y?x?2 D．y?x?1 2．若
． ?(2x?k)dx= 2，则k =（ A ）
0122 13
A．1 B．-1 C．0 D．12 3．下列定积分中积分值为0的是（ A ）．
x A．?1ex?e?x?12dx B．?1e?e?x?12dx C．
?????(x3?cosx)dx D．???(x2?sinx)dx
4．设f(x)是连续的奇函数，则定积分?a-af(x)dx?（ D ）
A．2?0dx B．?0-af(x)dx C．?a-af(x)0f(x)dx D． 0
?5．
??2sinxdx?（ D ）
． -2A．0 B．? C．?2 D．2 6．下列无穷积分收敛的是（B）． A．
???x B．???0edx 0e?xdx
C．
???11xdx D．???11xdx
7．下列无穷积分收敛的是（B）． A．
???0sinxdx B．???x0e?2dx
C．
???1xdx D．???111xdx
8．下列微分方程中，（ D）是线性微分方程． A．yx2?lny?y?
B．y?y?xy2?ex
C．y???xy??ey D．y??sinx?y?ex?ylnx 9．微分方程y??0的通解为（ C ）．
A．y?Cx B．y?x?C C．y?C D．10．下列微分方程中为可分离变量方程的是（B）
A.
dydx?x?y； B. dydx?xy?y； C. dydx?xy?sinx； D. dydx?x(y?x) 三、计算题（每小题7分，共56分）
y?0 14
1．
?ln2x0e(1?ex)2dx ln2解：
?ln2ex(1?ex)2dx??ln2280(1?ex)d(1?ex)?103(1?ex)3?9?03?193 2．
?e1?5lnx1xdx 解：?e1?5lnx1xdx??e1(1?5lnx)dlnx?15?e1(1?5lnx)d(1?5lnx) e ?15?12(1?5lnx)2?1(6?1)?1
11023．
?1x0xedx
解：?1x0xedx??1xx110xde?xe0??exdx?e?ex100?e?(e?1)?1
4．
??x0xsin2dx 解：??0xsinx2dx?2??xx?x0xsin2d(2)??2?0xdcos2
x? ??2(xcos2???cosx2dx)?2?x00?0cos2dx ?4???0cosx2d(x2)?4sinx2?4
0?5．
?20xsinxdx
????解：
?20xsinxdx???20xdcosx??(xcosx02??20cosxdx)
?sinx?02?1 6．求微分方程y??yx?x2?1满足初始条件y(1)?74的特解．
解：微分方程的通解为y?e??p(x)dx[?q(x)e?p(x)dxdx?c]
这里 p(x)?1x，q(x)?x2?1 代入得微分方程的通解为y?1x(14x4?12x2?c)
将初始条件y(1)?74代入上式，解得c?1
15
111 所以微分方程的特解为y?x(4x4?22x?1)
7．求微分方程y??yx?2xsin2x的通解。 解：微分方程的通解为y?e??p(x)dx[?q(x)e?p(x)dxdx?c]
这里p(x)??1x，q(x)?2xsin2x 代入得微分方程的通解为y?x(?cos2x?c) 四、证明题（本题4分） 证明等式?aa?af(x)dx??0[f(?x)?f(x)]dx。
证明：
?a0a?af(x)dx???af(x)dx??0f(x)dx
考虑积分?0?af(x)dx，令x??t，则dx??dt，从而
?000aa?af(x)dx??af(?t)[?dt]???af(?t)dt??0f(?t)dt??0f(?x)dx 所以
?a0a?af(x)dx???af(x)dx??0f(x)dx
??aa0f(?x)dx??f(x)dx??a00[f(?x)?f(x)]dx
16