a11x1 + a12 x2+ a13 x3 = 0 a21x1 + a22x2 + a23x3 = 0 a31x1 + a32x2 + a33x3 = 0 满足：
a. a11、 a22、 a33 是正数，其余是负数； b. 每个方程中的系数之和是正的。
求证：该方程组的有唯一的解 x1 = x2 = x3 = 0。
3. 四面体ABCD被平行于AB、CD边的一个平面分割成两部分，并且该平面到AB边的距离是该平面到CD边距离的 k倍。试求出 这两部分的体积比。
4. 四个实数，它们中的任何三个的乘积再加上第四个数都等于2，求出这四个数的所有可能值。 5. 三角形OAB中的角O是锐角，M是边AB上任意一点，从M向OA、OB边引垂线，垂足分别为P、Q。设三角形OPQ的垂心为，求出当M在AB边上移动时点H的轨迹；若M在三角形OAB内部移动是H的轨迹又是什么？
6. 平面上给定了 n>2个点，任何两点之间都有线断相连，这些线断长度中的最大值被定义为这个点集的直径，求证：长度为直径的线断至多有n条。
第8届国际数学奥林匹克(IMO)
1. 在一次数学竞赛中共有A、B、C三道题，25名参赛者每人至少答对了一题。在所有没有答对A的学生中，答对B的人数是答对C的人数的两倍，只答对问题A的人数比既答对A又至少答对其他一题的人数多1。又已知在所有恰好答对一题的参赛者中，有一半没有答对A。请问有多少学生只答对B？ 2. 三角形ABC，如果，
BC + AC = tan C/2 (BC tan A + AC tan B).
则该三角形为等腰三角形。
3. 求证：从正四面体的内切圆圆心到各顶点距离之和小于从空间中任意其他点到各顶点距离之和。 4. 对任何自然数 n以及满足 sin 2x 不为 0 的实数x，求证：
1/sin 2x + 1/sin 4x + ... + 1/sin 2x = cot x - cot 2x.
5. ai （i=1,2,3,4）是互不相同的实数，解方程组（i=1,2,3,4）
|ai - a1| x1 + |ai - a2| x2 + |ai - a3| x3 + |ai - a4| x4 = 1。
6. 在三角形ABC的边BC、CA、AB上分别任选三内点K、L、M，求证三角形AML、BKM、CLK之中至少有一个的面积小于活等于三角形ABC的四分之一。
n
n
n
第9届国际数学奥林匹克(IMO)
1. 平行四边形ABCD，边长 AB = a, AD = 1, 角 BAD = A, 已知三角形ABD是一个锐角三角形，求证以A,B,C,D为圆心半径为1的四个圆能够覆盖此平行四边形的充要条件是
a ≤ cos A + √3 sin A.
2. 若四面体有且仅有一边大于1，求证其体积 ≤ 1/8.
3. k, m, n 是自然数 且 m + k + 1 是一个大于 n+1 的素数，令cs = s(s+1)，求证
(cm+1 - ck)(cm+2 - ck) ... (cm+n - ck)
可被乘积 c1c2 ... cn整除。
4. 任意两个锐角三角形 A0B0C0 和 A1B1C1 。考虑所有与三角形 A1B1C1相似且外接于三角形 A0B0C0 的所有三角形ABC（即BC边包含A0，CA边包含B0，AB边包含 C0），试构造出满足此条件的面积最大的三角形ABC。
5. a1, ... , a8 是不全为0的实数，令 cn = a1n + a2n + ... + a8n ( n = 1, 2, 3, ... )，如果数列{ cn }中有无穷多项等于0，试求出所有使 cn＝0 的自然数n。
6. 在一次运动会中，连续 n 天内（n>1）一共颁发了 m 块奖牌。在第一天，颁发了一块奖牌以及
剩下 m-1 个中的 1/7；在第二天颁发了两块奖牌以及剩下的 1/7；依此类推。在最后一天即第 n 天，剩下的n块奖牌全部颁发完毕。问该运动会共进行了几天，一共颁发了多少块奖牌？
第10届国际数学奥林匹克(IMO)
1. 求证有且仅有一个三角形，它的边长为连续整数，有一个角是另外一个角的两倍。 2. 试找出所有的正整数 n，其各位数的乘积等于 n2 - 10n - 22。
3. a, b, c 是不全为0的实数。x1, x2, ... , xn 是满足下述方程组的未知数： axi2 + bxi + c = xi+1, 对于 i=1,2,...,n-1； axn2 + bxn + c = x1； 若设 M= (b - 1)2 - 4ac ，求证：
a. 若 M<0，则方程组无解； b. 若 M=0，则方程组恰有一解； c. 若 M>0，则方程组不止有一个解。
4. 求证任何四面体上都有一个顶点使得经过该顶点的三条边可构成一个三角形的三边。 5. 令f是定义在所有实数并取值实数的函数，并且对于某个 a>0及任何 x>0 有
f(x + a) = 1/2 +√[f(x)-f(x)2]
求证 f 是周期函数，并且当 a=1时请给出一个非常值函数的例子。
6. 对任何自然数 n，试计算下式的值
[(n+1)/2] + [(n+2)/4] + [(n+4)/8] + ... + [(n+2k)/2k+1] + ...
其中[x]表示不超过 x 的最大整数。
第11届国际数学奥林匹克(IMO)
1. 对任意正整数 n，求证有无穷多个正整数 m 使得 n4 + m 不是质数。
2. 令 f(x) = cos(a1 + x) + 1/2 cos(a2 + x) + 1/4 cos(a3 + x) + ... + 1/2 cos(an + x), 其中 ai 是实数常量，x是实数变量。现已知 f(x1) = f(x2) = 0，求证 x1 - x2 是 π 的整数倍。 3. 对每一个k = 1, 2, 3, 4, 5，试找出 a>0 应满足的充要条件使得存在一个四面体，其中 k个边长均为 a，其余 6-k个边的长度均为 1。
4. 以AB为直径的半圆弧，C是其上不同于A、B的一点，D是C向AB作垂线的垂足。K1 是三角形ABC的内切圆， 圆K2 与CD、DA以及半圆都相切，圆K3 与CD、DB及半圆相切。求证：圆K1、 K2 、 K3 除AB外还有一条公切线。
5. 平面上已给定了 n>4个点，无三点共线。求证至少有 (n-3)(n-4)/2 个凸四边形，其顶点都是已给点集中的点。
6. 给定实数x1, x2, y1, y2, z1, z2, 满足 x1 > 0, x2 > 0, x1y1 > z1, x2y2 > z2，求证：
8 1 1
(x1 + x2)(y1 + y2) - (z1 + z2)2
并给出等号成立的充分必要条件。
2
2n-1
≤
x1y1 - z12
+
x2y2 - z22
第12届国际数学奥林匹克(IMO)
1. M 是三角形ABC的边AB上的任何一点，r、r1、r2 分别是三角形ABC、AMC、BMC的内切圆的半径，q 是AB外旁切圆的半径（即与AB边相切，与CA、CB的延长线上相切的圆），类似的， q1、q2分别是AC、BC外旁切圆的圆心。求证： r1r2q = rq1q2。
2. 已知0 ≤ xi < b，i = 0, 1, ... ,n 并且 xn > 0, xn-1 > 0。如果 a>b，xnxn-1...x0 是数A在a进制下的表示、也是B在b进制下的表示，则 xn-1xn-2...x0 表示了 A'在a进制下的表示、B'在b进制下的表示。求证：A'B
3. 实数 a0, a1, a2, ...满足 1 = a0 <= a1 <= a2 <= ...，并定义
bn =∑(1 - ak-1/ak)/√ak
其中求和是k从1到n。
a. 求证0≤ bn<2；
b. 设c满足0≤c <2，求证可找到an 使得当n足够大时bn >c成立。
4. 试找出所有的正整数 n 使得集合 {n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5} 可被分拆成两个子集合，每个子集合的元素的乘积相等。
5. 四面体ABCD，角BDC是直角，D向平面ABC作垂线的垂足恰好是三角形ABC的垂心。求证：
(AB + BC + CA)2 ≤ 6(AD2 + BD2 + CD2).
并问何时等号成立？
6. 平面上给定100个点，无三点共线，求证：这些点构成的三角形中至多70% 是锐角三角形。
第13届国际数学奥林匹克(IMO)
1. 令 En = (a1 - a2)(a1 - a3) ... (a1 - an) + (a2 - a1)(a2 - a3) ... (a2 - an) + ... + (an - a1)(an - a2) ... (an - an-1). 求证 En >= 0 对于n=3或5成立，而对于其他自然数n>2不成立。 2. 凸多边形 P1 的顶点是 A1, A2, ... , A9，若将顶点 A1 平移至Ai 时则 P1 平移成了多边形 Pi ，求证 P1, P2, ... , P9 之中至少有两个具有一共同内点。
3. 求证能够找到一个由形式 2n - 3 （n是正整数）的整数构成的集合并满足任何两个元素互质。 4. 四面体ABCD的所有面都是锐角三角形，在线段AB上取一内点X，现在BC上取内点Y，CD上取内点Z，AD上内点T。求证：
a. 如果 ∠DAB+∠BCD ≠ ∠CDA+∠ABC，则没有一条闭路径XYZTX具有最小值；
b. 如果 ∠DAB+∠BCD ＝ ∠CDA+∠ABC，则有无穷多最短路径XYZTX，它们的长度是 2AC
sin(k/2)，其中 k=∠BAC+∠CAD+∠DAB。