个i=1,2，...,n，它的第i列与第i行中的所有元素合起来恰好是S中的所有元素。求证：
o a. 不存在n=1997阶的银矩阵； o b. 有无限多个n，存在n阶银矩阵。
5. 试找出所有的正整数对(a,b)满足
b2 a a = b
6. 对每个正整数n，将n表示成2的非负整数次方之和，令f(n)为正整数n的上述不同表示法的个
数。如果俩个表示法的差别仅在于他们中各个数相加的次序不同，这两个表示法就被视为是相同的。例如，f(4)=4，因为4恰有下列四种不同的表示法：4; 2+2; 2+1+1;1+1+1+1。 求证：对于任意整数n≥3，
22n/4 n/2 n2 < f(2)< 2
第39届国际数学奥林匹克(IMO)试题
1. 凸四边形ABCD，对交线AC,BD互相垂直，对边AB,DC不平行，AB和DC的垂直平分线相交于
P点，P在ABCD的内部。
求证ABCD是圆内接四边形当且仅当三角形ABP、CDP的面积相等。
2. 在一次竞赛中有a个参赛者和b个裁判，b≥3是一个奇数。每个裁判可以给参赛者判“合格”或者
“不合格”，假设任何两个裁判对至多k个参赛者的判决相同， 求证：k/a ≥ (b-1)/2b.
3. 对任何正整数n，用d(n)表示n的正因数（包括1,n）的个数。 试求出所有正整数k使存在n满足 d(n2)=kd(n).
4. 试找出所有的正整数对(a,b)使得ab2+b+7能整除a2b+a+b。
5. 设I是三角形 ABC的内心，三角形 ABC的内切圆在边BC,CA,AB上的切点分别是K,L,M。 通过B点平行于MK的直线交LM,LK分别于R,S。
求证：三角形 RIS是锐交三角形。
6. 考虑所有从正整数到正整数的函数f使之对于所有的s、t满足f(tf(s))=sf(t)。 试求出f(1998)的最小的可能值。
2
2
第40界国际数学奥林匹克(IMO)试题
1. 试找出所有这样的有限集S：S至少包括平面上的3个点；对任何两个S中不同的点A,B， AB的垂直平分线是S的一个对称轴。
2. 设n ≥ 2是一个给定的整数，是找出最小的常量C使得对于所有非负实数x1, ... , xn如下不等式成立：
∑i 并判断何时等号成立。 3. 给定一个n×n的棋盘，n是偶数。如果这个棋盘中的两个不同的小方格有一个公共边就说他们是相邻的，但同一个方格不认为与它自身相邻。试找出最小数目的方格，使得当它们被标记之后，棋盘上每一个方格都至少与一个标记过的方格相邻。 4. 试找出所有的正整数对(n,p)，使得p是素数，n ≤ 2p并且(p-1)n+1可被np-1整除。 5. 圆Γ有两个内切圆Γ1 ,Γ2，切点分别是M,N，Γ1经过Γ2的圆心。 Γ1,Γ2的公共弦的延长线交Γ于A,B两点。线MA,MB分别交Γ1分别于E,F。 求证：EF于Γ2相切。 6. 试找出所有的函数f:R → R使得f(x-f(y))=f(f(y))+xf(y)+f(x)-1对所有x,y ∈ R都成立。 其中R表示实数集。 第41界国际数学奥林匹克(IMO)试题 1. 圆Γ1和圆Γ2相交于点M和N。设l是圆Γ1和圆Γ2的两条公切线中距离M较近的那条公切线。l与圆Γ1相切于点A，与圆Γ2相切于点B。设经过点M且与l平行的直线与圆Γ1还相交于点C，与圆 Γ2还相交于点D。直线CA和DB相交于点E；直线AN和CD相交于点P；直线BN和CD相交于点Q。 求证：EP=EQ。 2. 设a,b,c是正实数，且满足abc=1。求证： (a- 1 + 1/b)(b - 1 + 1/c)(c - 1 + 1/a) ≤ 1。 3. 设n≥2为正整数。开始时，在一条直线上有n只跳蚤，且它们不全在同一点。 对任意给定的一个正实数λ，可以定义如下的一种“移动”： o (1). 选取任意两只跳蚤，设它们分别位于点A和点B，且A位于B的左边； o (2). 令位于点A的跳蚤跳到该直线上位于点B右边的点C， 使得BC/AB=λ。 试确定所有可能的正实数λ， 使得对于直线上任意给定的点M以及这n只跳蚤的任意初始位 置，总能够经过有限多个移动之后令所有的跳蚤都位于M的右边。 4. 一位魔术师有一百张卡片，分别写有数字1到100. 他把这一百张卡片放入三个盒子里，一个盒子是红色的，一个是白色的，一个是蓝色的。 每个盒子里至少都放入了一张卡片。 一位观众从三个盒子中挑出两个，再从这两个盒子里各选取一张卡片， 然后宣布这两张卡片上的数字之和。知道这个和之后，魔术师便能够指出哪一个是没有从中选取卡片的盒子。 问共有多少种放卡片的方法，使得魔术总能够成功？（两种方法被认为是不同的，如果至少有一张卡片被放入不同颜色的盒子） 5. 确定是否存在满足下列条件的正整数n：n恰好能够被2000个互不相同的质数整除，且2n+1能够被n整除。 6. 设AH1,BH2,CH3是锐角三角形ABC的三条高线。 三角形ABC的内切圆与边BC, CA, AB分别相切于点T1, T2, T3，设直线l1,l2,l3分别是直线H2H3, H3H1, H1H2关于直线T2T3, T3 T1, T1T2的对称直线。 求证：l1,l2,l3所确定的三角形，其顶点都在三角形ABC的内切圆上。 第42界国际数学奥林匹克(IMO)试题 1. △ABC是锐角三角形，其外接圆的圆心是O。X是从A到BC边上垂线的垂足。 已知∠C≥∠B+30o， 求证：∠A+∠COX<90o。 2. a,b,c是正实数，设a' = √(a + 8bc), b' = √(b + 8ca), c' = √(c + 8ab)， 2 2 2 求证： a/a' + b/b' + c/c' ≥ 1。 3. 由整数组成的一个21×21的矩阵，其每行每列都至多有6个不同的整数。 求证，存在某个整数出现在至少3行和3列中。 4. 设n1,n2,...,nm是整数，其中m是奇数。x=(x1,x2,...,xm)是1,2,...,m的一个排列， f(x)=x1n1+x2n2+...+xmnm， 求证，存在两个不同的排列a,b使得f(a)-f(b)能被m!整除。 5. △ABC，X在BC上且AX是∠A的角平分线，BY是∠B的角平分线，Y在CA上。已知∠A=60o， AB+BX=AY+YB，试求出所有∠B可能的值。 6. K>L>M>N是正整数且KM+LN=(K+L-M+N)(-K+L+M+N)。 求证KL+MN是合数。 第43界国际数学奥林匹克(IMO)试题 1. 设n是给定的正整数，T是一个集合，其元素是平面上满足x,y是非负整数且x+y 2. BC为圆O的直径，A为⊙O上的一点，0o<∠AOB <120o, D是弧AB（不含C的弧）的中点，过O平 行于DA的直线交AC 于I，OA的垂直平分线交⊙O于E、F， 求证：I是△CEF的内心。 3. 找出所有的正整数对m,n≥3，是的存在无穷多个正整数a，使(am +a-1)/(an +a2-1)为整数。 4. 设n为大于1的整数，全部正因数为d1,d2,...,dk， 其中1=d1 < d2 < ... < dk=n， 记D=d1d2+d2d3+...+dk-1dk。 a. 求证：D< n2； 2? b. 确定所有的n，使得D能整除n。 ? 5. 找出所有从实数集R到R的函数f，使得对所有x,y,z∈R，有 (f(x)+f(z))(f(y)+f(t))=f(xy-zt)+f(xt+yz)。 6. 设Γ1，Γ2，...,Γn是平面上半径为1的圆，其中n≥3，记他们的圆心分别为O1,O2,...,On。假设任意一条直线都至多和两个圆相交或相切， 求证： ∑i 第44界国际数学奥林匹克(IMO)试题 1. 设A是集合S={1, 2, 3, ..., 1000000}的一个101元子集，求证： 存在S中的100个元素T1 ,T2 ,...,T100 使得集合 Aj={X+Tj | X 属于 A} （j=1,2,...,100） 是两两不交的。 2. 求所有的正整数对(a,b)，使得 a2/(2ab2-b3+1)也为整数。 3. 一凸六边形，任意一组对边中点的连线是这组对边长度之和的√3/2 倍，求证这个六边行的 每个内角都是120o。 4. 圆内接四边形ABCD，从D向分别边BC,CA,AB引垂线，垂足分别为P，Q，R。求证： PQ=QR当且仅当∠ABC、∠ADC的角平分线及AC三线共点。 5. 设n是一个正整数，x1,x2,...,xn是实数并且x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xn,求证： a. (∑i,j |xi - xj| )2 ≤ (2/3) (n2 - 1) ∑i,j (xi - xj)2。 ? b.上式等号成立当且仅当x1,x2,...,xn是等差数列。 ? 6. 设p是一个素数，求证存在一个素数q使得对每个整数n，np-p不能被q整除。