条以上的边的顶点， 从这个顶点出发的所有边的标号的最大公约数是1。
注：一个图是由一组顶点和一些连接这些顶点的线段（称为边）组成。 每对顶点之间最多有1条边。如果对图中的任何两个不同的顶点x,y都有一些顶点x=v0,v1,..., vm=y使得vi,vi+1(0<=i 5. X是△ABC内部中的一个点，试证明∠XAB,∠XBC, ∠XCA中至少有一个不大于30o。 6. 任意给定一个实数a>1，试构造一个有界的无限序列x0,x1,x2,... 使得对任何x≠y都有|xi-xj||i-j|a>=1。 注：一个无限实数序列x0,x1,x2,... 是有界的如果存在一个常数C使得|xi| 第33届国际数学奥林匹克(IMO)试题 1. 试找出所有的整数a,b,c满足1 3. 空间中有9个点，无4点共面，每两点之间连接一个被染上红色或蓝色或者不染色的线段，试找出最小的n使得，只要恰好有n条线段被染色，这些染色的线段一定包含一个同色三角形（即三角形的三边被染上相同的颜色）。 4. L是圆Γ的一条切线，M是L上的一点，试找出所有这样的点P的轨迹：存在L上的关于M对称的两点Q,R，△PQR的内切圆是Γ。 5. 设S是三维空间中的一个有限点集， 集合Sx,Sy,Sz分别是S在平面yz,zx,xy上的投影， 求证：|S|2<=|Sx|·|Sy|·|Sz|。 其中|A|表示集合A的元素个数。 [注：一个点到一个平面上正交投影指的是该点到平面作垂线的垂足。] 6. 对正整数n，S(n)是满足如下条件最大的整数：对每个正整数k<= S(n)，n都可写成k个完全平方数的和。 a. 求证对每个n>=4有S(n)<=n2-14； 2 ? b. 试找出一个整数n使得S(n)=n-14； 2 ? c. 试证明有无穷多个整数n使得S(n)=n-14。 ? 2 第34届国际数学奥林匹克(IMO)试题 1. 设f(x)=xn+5xn-1+3，其中n>1是一个整数。 求证f(x)不能表示成两个非常数的整系数得多项式的乘积。 2. 设D是锐角三角形ABC内部一点且∠ADB=∠ACB+90，AC·BD=AD·BC， o a. 计算(AB·CD)/(AC·BD)； o b. 求证△ACD,△BCD的外界圆在C处的切线互相垂直。 o 3. 在一个无限大的棋盘上以如下方式做游戏。开始时棋盘中的一个n×n的框上整齐的摆放着n2个棋子（每个小方格上放着一个棋子），游戏的每一步都是在水平或者竖直方向上跨越一个棋子而 跳到一个空格子上去，并同时取走所跨越过的棋子。 试找出所有的n值使得游戏以只留一个棋子在棋盘上而结束。 4. 对平面上的三个点P,Q,R，定义m(PQR)为△PQR的最短高的长度(如果P,Q,R共线当然有 m(PQR)=0)。 求证对任何点A,B,C,X有m(ABC)≤m(ABX)+m(AXC)+m(XBC)。 5. 问是否存在一个从正整数到正整数的函数f使得f(1)=2, f(f(n))=f(n)+n对所有n，并且 f(n 6. 有n>1盏灯L0,L1，...,Ln-1绕成一圈，为方便Ln+k也表示Lk。 一盏灯只有开或关两个状态，初始时 刻它们全是开着的，依次执行步骤s0,s1,...,：在步骤si， 如果Li-1点燃，就关掉Li，否则什么都不做。试证明： o a. 存在一个正整数M(n)使得在第M(n)步之后所有的灯都开着； o b. 若n=2，则可使M(n)=n-1； o c. 若n=2，则可使M(n)=n-n+1。 k+1 2 k 2 第35届国际数学奥林匹克(IMO)试题 1. m和n都是正整数，a1,a2,...,am是{1,2,...,n}中不同的数，只要有ai +aj≤ n（i,j可能相同）那么就有某个k使ai +aj=ak， 求证(a1+...+am)/m≥(n+1)/2。 2. △ABC是等腰三角形，AB=AC，M是BC的中点，O是线AM上的点且OB⊥AB，Q为线段BC上不同于B,C 的任意一点，E,F分别在AB,AC上使得E,Q,F不同并共线。 求证：OQ⊥EF当且仅当QE=QF。 3. 对任何正整数k，定义f(k)为集合{k+1,k+2,...,2k}中的用二进制表示后恰有3个1的元素的个数， 求证对于每个正整数m，存在至少一个k使f(k)=m；并求出使得恰有一个k的所有m值。 4. 试求出所有的正整数对(m,n)使得(n3+1)/(mn-1)是整数。 5. S是所有大于-1的实数集，试找出所有的从S到S的函数f满足对所有x,y,f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x),并且对于-1 6. 试证明存在满足下列性质的正整数集合A：对任何由素数构成的无限集S，都有k≥2以及两个正整数m,n，m ∈A, n不∈A，m和n都是S中k个不同元素的乘积。 第36届国际数学奥林匹克(IMO)试题 1. A,B,C,D是一条直线上顺序排列的四个不同点，分别以AC,BD为直径的两个圆相交于X,Y，直线XY交BC于Z， 设P为直线XY上异于Z的一点，直线CP与以AC为直径的圆相交于C,M； 直线BP与以BD为直径的圆相交于B,N。求证：AM,DN,XY三线共点。 2. a,b,c为正实数且abc=1，试证： 1 1 + 33 a(b+c) b(c+a) + 1 c(a+b) 3 ≥ 3 2 3. 试确定所有整数n>3，使得在平面上存在n个点A1,A2， ...,A（无三点共线）及n个实数r1,r2,...,rnn满足 △AiAjAk的面积是ri+rj+rk， 其中是对每个三元组1≤i 4. 正实数序列x0,x1,...,x1995满足条件 x0=x1995且对于i=1,2,...,1995有xi-1+2/xi-1=2xi +1/xi. 试求出所有满足上述条件的数列中x0的最大值。 5. 设ABCDEF是凸六边形，满足AB=BC=CD, DE=EF=FA，∠BCD=∠EFA=60o。 设G,H是这六边形内部两 o点使得∠AGB=∠DHE=120， 求证 AG+GB+GH+DH+HE≥CF。 6. p是一个奇质数，试求出集合{1,2,...,2p}的所有p元子集A的个数满足A中元素之和能被p整除。 第37界国际数学奥林匹克(IMO)试题 1. ABCD是一个长宽分别是AB=20,BC=12的长方形板。将此长方形板分割为20×12个格子状的单位小方格，r为一给定的正整数，一个铜币在此板上每移动一次的规则为：铜币可从一个小方格内移动到另一个小方格内的充分必要条件是这两个小方格的中点间的距离为√r。现目标是把一个在含顶点A的小方格内的铜币经过若干次移动后到达含顶点B的小方格内。 o a. 当r是2的倍数或者3的倍数时，此目标无法达成； o b. 当r=73时，此目标可以达成； o c. 当r=97时，问此目标能否达成？ 2. P为△ABC内一点且∠APB-∠ACB=∠APC-∠ABC，设D,E分别是∠APB,∠APC的内心， 求证：AP,BD,CE三线共点。 3. S={0,1,2,3,...}为所有非负整数所成的集合，试找出所有由S对应到S本身的函数f且对m,n∈S 有f(m+f(n))=f(f(m))+f(n)。 4. 正整数a,b使得15a+16b和16a-15b都是完全平方数，试求出最小的可表示成这两个完全平方数之一的可能值。 5. ABCDEF是凸六边形，AB平行于ED，BC平行于FE，CD平行于AF。 令RA,RC,RE分别表示△FAB,△BCD,△DEF的外接圆的半径，并以p表示该六边形的周长。 求证：RA+RC+RE≥p/2。 6. n,p,q都是正整数且n>p+q，令x0,x1,xn都是整数，x0=xn=0且对每个1≤i≤n，xi-xi-1=p或q。 求证存在下标i 第38界国际数学奥林匹克(IMO)试题 1. 在坐标平面上，具有整数坐标的点构成单位边长的正方格的顶点。这些正方格被涂上黑白相间的两种颜色（像棋盘一样）。对于任意一对正整数m和n，考虑一个直角三角形其顶点具有整数坐标，两腰长分别为m和n，且其两腰都在这些正方格的边上。 设S1为这个三角形区域中所有黑色部分的总面积，S2则为所有白色部分的总面积。 令f(m,n)=|S1-S2|， o a. 当m,n同为正偶数或者同为正奇数时，计算f(m,n)； o b. 求证f(m,n)≤max(m,n)/2对所有m,n都成立； o c. 求证不存在常量C使得f(m,n)。 2. 设∠A是△ABC中最小的內角。B和C将此三角形的外接圆分成两个弧。U为落在不含A点的弧上且异于B,C的一点。线段AB,AC的垂直平分线分别交AU于V,W。 直线BV, CW相交于T， 求证：AU＝TB＋TC。 3. x1,x2,...,xn是正实数满足|x1+x2+...xn|=1 且对所有i有|xi|≤(n+1)/2。 试证明存在x1,x2,...,xn的一个 排列y1,y2,...,yn满足 |y1+2y2+...+nyn|≤(n+1)/2。 4. 一个n×n的矩阵称为一个n阶“银矩阵”，如果它的元素取自集合S={1,2,...,2n-1}且对于每一