5. 对任何自然数 m ，求证存在平面上一有限点集 S，满足：对S中的每一个点 A，存在S中的恰好 m 个点与 A的距离为单位长。
6. 设 A = (aij),其中 i, j = 1, 2, ... , n，是一个方阵，元素 aij 都是非负整数。若 i、j使得aij = 0，则第i行和第j列的元素之和 大于或等于 n。求证：该方阵中所有元素之和 大于或等于n2/2。
第14届国际数学奥林匹克(IMO)
1.有十个互不相同的二位数，求证必可从中选出两个不相交的子集，使得这两个子集中的元素之和相等。
2. 设 n>4， 求证每一个圆内接四边形都可以分割成 n 个圆内接四边形。 3. m,n是任意非负整数，求证下式是一整数。
(2m)!(2n)!
m!n!(m+n)!
4. 试找出下述方程组的所有正实数解：
(x12 - x3x5)(x22 - x3x5) <= 0 (x22 - x4x1)(x32 - x4x1) <= 0 (x32 - x5x2)(x42 - x5x2) <= 0 (x42 - x1x3)(x52 - x1x3) <= 0 (x52 - x2x4)(x12 - x2x4) <= 0
5. f、g都是定义在实数上并取值实数的函数，并且满足方程
f(x + y) + f(x - y) = 2f(x)g(y)，
又已知 f 不恒等于0且 |f(x)| <= 1 。求证对所有x同样有 |g(x)| <= 1 。
6. 给定四个不相同的平行平面，求证存在一个正四面体，它的四个定点分别在这四个平面上。
第15届国际数学奥林匹克(IMO)
1. OP1, OP2, ... , OP2n+1 是平面上的单位向量，其中点 P1, P2, ... , P2n+1 都是位于通过点O的一条直线的同一侧，求证
|OP1 + ... + OP2n+1| >= 1.
2. 问能否在空间中找到一个不共面的有限点集M使得，对M中的任何两点A、B，都可以再在M中寻找到两点C、D，而直线AB、CD是不相同的并且是互相平行的。 3. 考虑所有这样的实数a、b使得方程
x4 + ax3 + bx2 + ax + 1 = 0
至少有一个实根。试找出 a2 + b2 的最小值。
4. 一个士兵需要在一个等边三角形的区域内探测有没有地雷，他的扫雷器的半径是三角形高的一半，士兵从三角形的一个定点出发，试问如果要完成任务且使行程最短他应该走什么样的路径？ 5. G是具有下述形式且非常值的函数的集合：
f(x) = ax + b，其中a,b,x都是实数。
并且已知G具有这些性质：
如果f,g都属于G，则 fg(x) = f(g(x)) 也属于G；
-1
? 如果f属于G，则 f(x) = x/a - b/a 也属于G；
? 对任何f属于G，存在一个实数 xf 使得 f(xf) = xf成立。
?
求证：存在实数 M 使得 f(M)=M对所有G中的函数f都成立。
6. a1, a2, ... , an 是正实数，实数 q 满足0 < q < 1，试求出n格实数 b1, b2, ... , bn 使得：
a. ai < bi ，i = 1, 2, ... , n；
b. q < bi+1/bi < 1/q ， i = 1, 2, ... , n-1；
c. b1 + b2 + ... + bn < (a1 + a2 + ... + an)(1 + q)/(1 - q).
第16届国际数学奥林匹克(IMO)
1. 三个玩家玩游戏。在三张扑克牌上分别写上一个正整数，并且每张牌上的数都不相同。在每一轮游戏中都是随机的把卡片分给这些玩家，然后每个玩家拿到所分得卡片上数目的筹码。当游戏进行时，玩家手上的筹码自然是越来越多。假设游戏至少进行了两轮以上。在最后一轮结束时，第一个玩家有筹码20个，第二个玩家有10个，第三个玩家有9个。又已知在最后一轮游戏中第三个玩家拿到的是最大数目的筹码。试问，在第一轮游戏中哪个玩家收到了中间数量的筹码？
2. 三角形ABC，求证在边AB上存在一点D使得CD是AD、DB的几何平均值的充要条件是
sin A sin B <= sin2(C/2).
3. 试证明对任意非负整数n，下式都不能被5整除：
∑ C(2n+1,2k+1)23k，
上式中的求和是k从0到n，符号 C(r,s) 表示二项式系数 r!/(s!(r-s)!)。
4. 沿着一个 8 x 8 象棋盘（黑白相间）中的线将其分割成p个不相交的长方形，使得每个长方形内的黑白小方格的数目一样，并且每个长方形中小方格的数量也都不一样多。求出所有可能p值中的最大值；并对这样的最大值求出所有可能的分法（即求出那些长方形的大小）。 5. a,b,c,d是任意实数，判定下式的所有可能值：
a/(a+b+d) + b/(a+b+c) + c/(b+c+d) + d/(a+c+d)。
6. 设 P(x) 是一个指数d>0的整系数多项式，n是P(X)=1或-1的不同整根的个数，则有 n <= d + 2.
第17届国际数学奥林匹克(IMO)
1. 已知x1 >= x2 >= ... >= xn, 以及y1 >= y2 >= ... >= yn 都是实数，求证 若z1 ,z2 ,...,zn 是yi 的任意排列则有
∑(xi-yi)2 <= ∑(xi-zi)2
上式中左右两边的求和都是i从1到n。
2. 令a1 < a2 < a3 < ... 是一递增正整数序列，求证对所有i>=1，存在无穷多个 an 可以写成 an = rai + saj的形式，其中r，s是正实数且j > i。
3. 任意三角形ABC的边上，向外作三角形ABR,BCP，CAQ，使角CBP、角CAQ都是45度，角BCP、角ACQ都是30度，角ABR、角BAR都是15度。求证角QRP是直角并且QR=RP。
4. 令A是将44444444写成十进制数字时的各位数字之和，令B时A的各位数字之和，求B的各位数字之和。
5. 判定并证明能否在单位圆上找到1975个点使得任意两点间的距离为有理数。 6. 找出所有两个变量的多项式P(x, y)使其满足： I. II.
对某一正整数n及所有实数t、x、y有P(tx, ty) = tP(x, y)成立； 对所有实数x、y、z有
P(y + z, x) + P(z + x, y) + P(x + y, z) = 0;
III.
P(1, 0) = 1。
n
第18届国际数学奥林匹克(IMO)
1. 平面上一凸四边形的面积是32，两对边与一对角线之和为16，求另外一个对角线的所有可能的长度。
2. 令P1(x) = x - 2, Pi+1 = P1(Pi(x)), i = 1, 2, 3, ...，求证对任何一个正整数n，方程式Pn(x) = x 的所有根都是互不相同的实数。
3. 一个长方形的箱子可以用单位正方体完全装满，如果用体积为2的正方体来尽量装填，使得每个边都与箱子的边平行，则恰能装满箱子的40％，求所有这种箱子的可能尺寸（长、宽、高）。
2
4. 试将1976分解成一些正整数之和，求这些正整数乘积的最大值，并加以证明。
5. n是一个正整数，m = 2n， aij = 0、1或-1 （1 <= i <= n, 1 <= j <= m）。还有m个未知数x1, x2, ... , xm满足下面n个方程：
ai1x1 + ai2x2 + ... + aimxm = 0,
其中i = 1, 2, ... , n。求证这n个方程有一组不全为0的整数解（x1, x2, ... , xm）使得|xi|<= m。 6. 一个序列u0, u1, u2, ... 定义为：
u0= 2, u1 = 5/2, un+1 = un(un-12 - 2) - u1，n = 1, 2, ...
求证
[un] = 2(2n - (-1)n)/3,
其中[x]表示不大于x的最大整数。
第19届国际数学奥林匹克(IMO)
1. 在正方形ABCD中作等边三角形ABK、BCL、CDM、DAN，证明线段KL、LM、MN、NK的四个中点以及线段AK、BK、BL、CL、CM、DM、DN、AN的八个中点构成一个正十二边形的定点。
2. 在一个有限项的实数序列中，任意的相连七项之和为负，任意的相连十一项之和为正。求出这种序列最多有几项。
3. n>2是一给定整数，Vn 是所有1+kn形式的整数构成的集合，其中k是正整数，对于Vn 中的一个数m，如果不存在Vn 中的两个数p、q使得m=pq，则称m是不可分解的。求证：Vn 中存在一数r，它可有多于一种的方式表示为Vn 中不可分解数的乘积。（乘积中若仅仅是因数的顺序不同则视为是同一种分解。） 4. 定义f(x) = 1 - a cos x - b sin x - A cos 2x - B sin 2x，其中a,b,A,B都是实数常量。如果f(x)>=0对所有实数x都成立，求证
a2 + b2 <= 2 且 A2 + B2 <= 1.