2011年高考 数学（理科） 考前一百个提醒
第一部分 集合、逻辑与函数、导数
1、在集合运算中一定要分清元素的含义. 如：
?x|y?lgx?—函数的定义域；?y|y?lgx?—函数的值域；?(x,y)|y?lgx?—函数图象上
的点集。
2、空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集. 如：条件为A?B，在讨论的时候不要遗忘了A??的情况。
3、含n个元素的集合的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2－2。 4、①充分条件：若充要条件：若
np?q，则p是q充分条件。②必要条件：若q?p，则p是q必要条件。③
p?q，且q?p，则p是q充要条件。
充要条件的判定可利用集合包含思想判定，也可利用“原命题”与“逆否命题”等价转换去判定。 充要条件的问题要十分细心地去辨析：“哪个命题”是“哪个命题”的充分（必要）条件；注意区分：“甲是乙的充分条件（甲?乙）”与“甲的充分条件是乙（乙?甲）”，是两种不同形式的问题。 5、四种命题：①原命题：
p?q；②逆命题：q?p；③否命题：?p??q；④逆否命题：
?q??p；互为逆否的两个命题是等价的。
6、逻辑连结词：或?、且?、非?。真值表：?一真则真；?一假则假；?真假相反。 7、量词：存在?、任意?。命题P:?x?M,p(x)；?P:?x0?M,?p(x)。
命题Q:?x0?M,q(x0)；?Q:?x?M,?q(x)。
8、指数式、对数式：（1）amn?anma，?mn?1m?0a?0,m,n?Nn?1aan，（以上，且）。
?1，
bloga1?0，logaa?1，lg2?lg5?1，logex?lnx，a?N?logaN?b（a?0，
（2）
loga?MN??logaM?logaN；a?1，N?0）；（3）（4）
logambn?logaM?logaM?logaNN；
nlogablogaN?N；alogab?b；m（5）；（6）对数恒等式:a（7）对数的换底公
logmNlogaN?logma，特别的：logb?1 。
式:alogba 1
9、二次函数：①三种形式：一般式f(x)=ax+bx+c(a≠0,顶点?)；顶点式f(x)=a(x-h)+k，h，k=？；
2
2
零点式f(x)=a(x-x1)(x-x2)（a?0）(根?)。b=0偶函数；②区间最值：配方后一看开口方向,二讨论
对称轴与区间的相对位置关系； ③零点分布：先画图再研究△>0、轴与区间关系、区间端点函数值符号。
一元二次函数是最基本的初等函数，要熟练掌握一元二次函数的有关性质.一元二次函数在闭区间上一定存在最大值与最小值，应会结合二次函数的图像求最值.
一元二次函数、一元二次不等式、一元二次方程是不可分割的三个知识点。解一元二次不等式是“利用一元二次方程的根、结合一元二次函数的图像、写出一元二次不等式的解集”，可以将一元二次不等式的问题化归为一元二次方程来求解.特别对于含参一元二次不等式的讨论比较方便.还应当注意的是；一般地，不等式解集区间的端点值是对应方程的根（或增根）.
y?10、反比例函数：
cc(x?0)y?a?x?b(中心为(b,a))。 x，图像“双曲线型”，平移?y?x?ax（
11、“双勾”函数
a?0），奇函数,
函数在(0，a],[?a,0)递减 ，
在(??，?a][，a,??)递增。
若函数y?x?a（ax?0），奇函数,函数在区间(??，0),(0，??)上为增函数
12、奇偶性：奇函数对定义域内的任意
x满足f(?x)??f(x)；偶函数对定义域内的任意x满足
f(?x)?f(x)?f(x)。
注意：①使用函数奇偶性的定义解题时，得到的是关于变量x的恒等式而不是方程。②奇函数的图像关于原点对称,偶函数图像关于y轴对称，（充要的）；③若函数
y?f(x)是奇函数或偶函数，则此函数
的定义域必关于原点对称；反之，若一函数的定义域不关于原点对称，则该函数既非奇函数也非偶函数。④若
y?f(x)是奇函数且
f(0)存在，则
f(0)?0；反之不然。⑤多项式函数
P(x)?anxn?an?1xn?1???a0的奇偶性：P(x)是奇函数?P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为
零；
P(x)是偶函数?P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零。
13、单调性：（Ⅰ）定义法：设
x1、x2??a,b?，x1?x2，那么
f(x1)?f(x2)?0x1?x2(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0??f(x)在?a,b?上是增函数；
2
f(x1)?f(x2)?0(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?x1?x2?f(x)在?a,b?上是减函数。
（Ⅱ）导数法：设函数
y?f(x)在某个区间内可导，如果f?(x)?0，则f(x)为增函数；如果
f?(x)?0，则f(x)为减函数。
注意：（1）奇函数在关于原点对称的区间内增减性一致，偶函数在关于原点对称的区间内增减性相反。（2）复合函数由同增异减判定；（3）图像判定；（4）作用：比大小，解证不等式。 14、周期性：由周期函数的定义“函数
f(x)满足f?x??f?a?x?(a?0)，则f(x)是周期为af(x?a)?的周期函数”得： 函数
f(x)满足?f?x??f?a?x?或
11f(x?a)??f(x)，则f(x)或
f(x)是周期为2a的周期函数。
15、对称性：函数图像本身的对称性：
y?f(x)的图象关于直线x?a对称?f(a?x)
?f(a?x)?f(2a?x)?f(x)
16、图象变换：（1）平移；（2）函数
y?f?ax?(a?0)的图象是把函数y?f?x?的图象沿x轴伸
1缩为原来的a得到的；（3）函数
y?af?x?(a?0)的图象是把函数y?f?x?的图象沿y轴伸缩为
y?f?x?到y?f(x)，图像“左去右翻左”y?f?x?，由
y?f?x?与函数y?f??x?的图象关于
原来的a倍得到的；（5）翻折变换：由到
y?f(x)，图像“上留下翻上”；（6）对称变换：函数
直线x?0（y轴）对称；函数y?f?x?与函数y??f?x?的图象关于直线y?0（x轴）对称；
?1y?f(x)????y?fxy??f?xy?f(x)函数与函数的图象关于坐标原点对称；函数和函数
的图象关于直线
y?x对称。
研究方程根的个数、函数零点的个数、超越方程（不等式）的解（特别是含有参量的）、二次方程根的分布、二次函数的值域、三角函数的性质（包括值域）、含有绝对值的函数及分段函数的性质（包括值域）等问题常利用函数图像来解决.但必须注意的是作出的图形要尽可能准确：即找准特殊的点（函数图像与坐标轴的交点、拐点、极值点等）、递增递减的区间、最值等.
17、值域：求函数值域（最值、取值范围）的常用方法，配方法（二次函数型）、换元法、均值不等式
3
法、三角有界法、分离常数法、单调性法、图像法、导数法。 18、指数函数
y?ax(a?0,a?1)；对数函数y?logax(a?0,a?1)；幂函数y?x?
同底的指数、对数函数互为反函数。
//
19、导数：（1）导数几何物理意义：k=f(x0)表示曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率。V＝s(t)表示t时刻即时速度，a=v′(t)表示t时刻加速度。（2）常见函数的导数：
??n??0（C为常数）?nxn?1?n?Q?，③?sinx??cosx，④?cosx???sinx，②x?x??1?ex，?ax??axlna.（3）可导函数四则运算的⑤?lnx???1，?logax??logae，⑥exx①C?????????u?u?v?uv?求导法则：①?u?v??u??v?，②?uv??u?v?uv?，?Cu??Cu?，③?（4）?v?0?。???2v?v?复合函数的求导法则：设函数u应点U处有导数
??(x)在点x处有导数ux'??'(x)，函数y?f(u)在点x处的对
'''，或写作yu'?f'(u)，则复合函数y?f(?(x))在点x处有导数，且yx?yu?ux（5） 函数y?f(x)在点x0处的导数的几何意义：函数y?f(x)在点fx'(?(x))?f'(u)?'(x)。
x0处的导数是曲线y?f(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率f?(x0)，相应的切线方程是y?y0?f?(x0)(x?x0)
20、导数应用：⑴过某点（不一定是切点）的切线不一定只有一条； ⑵研究单调性步骤：分析y=f(x)定义域；求导数；解不等式f(x)≥0得增区间；解不等式f(x)≤0得减区间；注意f(x)=0的点；⑶
??求极值、最值步骤：求导数；求f(x)?0的根；检验f(x)在根左右两侧符号,若左正右负,则f(x)在该
/
/
/
根处取极大值；若左负右正,则f(x)在该根处取极小值；把极值与区间端点函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值. 特别提醒：（Ⅰ）
x0是极值点的充要条件是x0点两侧导数异号，而不仅是f??x0?＝0，f??x0?＝0是x0f?(x0)?0，又要
为极值点的必要而不充分条件。（Ⅱ）给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑
考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！（Ⅲ）导数与函数的单调性的关系：（1）一定可以推出
f?(x)?0是f(x)为增函数的充分不必要条件。f(x)为增函数，
（2）
f?(x)?0，但反之不一定，因为f?(x)?0，即为f?(x)?0或f?(x)?0。当函
f?(x)?0，则f(x)为常数，函数不具有单调性。
数在某个区间内恒有21、定积分：设即F'f(x)是区间?a,b?上的连续函数，F(x)是函数f(x)在区间?a,b?上的任一原函数，
b(x)?f(x)，则：?f(x)dx= F(b)?F(a)（在定积分计算时，只需写出f(x)的一个原函数
aF(x)，不需加上任意常数C）
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第二部分 不等式
a?b?2ab,ab?(22、基本不等式（均值不等式）：
a?b2)a,b的取2 要记住等号成立的条件与
值范围.“一正、二定、三相等”，“积定和有最小值、和定积有最大值”，利用基本不等式求最值时要考虑到等号是否成立.与函数相关的应用题多有基本不等式的应用.
23、遇到含参不等式（或含参方程）求其中某个参数的取值范围通常采用分离参数法，转化为求某函数的最大值（或最小值）；但是若该参数分离不出来（或很难分离），那么也可以整体研究函数
y?f(a,x)的最值.特别注意：双变量问题在求解过程中应把已知范围的变量作为主变量，另一个作为参数. 24、简单的线性规划：
（1）二元一次不等式表示的平面区域：①法一：先把二元一次不等式改写成或
的形式，前者表示直线的上方区域，后者表示直线的下方区域；法二：用特殊点判断；②无等号时用虚线表示不包含直线l，有等号时用实线表示包含直线l；③设点
y?kx?by?kx?bP(x1,y1)，Q(x2,y2)，若
Ax1?By1?C与Ax2?By2?C同号，则P，Q在直线l的同侧，异号则在直线l的异侧。
（2）线性规划问题中的有关概念：
①根据实际问题的约束条件列出不等式；②作出可行域，写出目标函数；③确定目标函数的最优位置，从而获得最优解。
（3）在求解线性规划问题时要注意：①将目标函数改成斜截式方程；②寻找最优解时注意作图规范。
第三部分 三角
25、终边相同(β=2kπ+α)； 弧长公式：l?|?|R，扇形面积公式：S弧度(1rad)?57.3。 26、同角基本关系：①sin2??1lR?1|?|R2，122??cos2??1， ②tan?=
sin? cos?已知一个角的某一三角函数值求其它三角函数值或角的大小，一定要根据角的范围来确定；能熟练掌握由tan?的值求的值的操作程序；给（一个角的三角函数）值求（另一个三角函数）值的问题，一般要用“给值”的角表示“求值”的角，再用两角和（差）的三角公式求得.
sin?,cos?sinx?cosx,sinx?cosx,sinxcosx这三者之间的关系虽然没有列入同角三角比的基本关系式，
但是它们在求值过程中经常会用到，要能熟练地掌握它们之间的关系式：
(sinx?cosx)2?1?2sinxcosx.求值时能根据角的范围进行正确的取舍.
26、（正弦、余弦的）诱导公式：
n?n??(?1)2sin?,n为偶数sin(??)??n?12?(?1)2cos?,n为奇数?n?n??(?1)2cos?,n为偶数cos(??)??n?12?(?1)2sin?,n为奇数?
简记：奇变偶不变,符号看象限．(注意：公式中始终视?为锐角) 28、重要三角公式：（Ⅰ）和角
角
公
式
：
与差
sin(???)?sin?cos??cos?sin?
5
cos(???)?cos?cos??sin?sin?