解析几何题型与方法
高考解析几何涉及直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的方程、性质及其相互之间的关系，其本质是使用代数的方法解决几何问题，因此数形结合是最常用的思想方法，同时转化思想、函数与方程思想等也比较常用。在解题时，解析几何问题的题目较为明确，每一各设问的顺序也决定了解题的顺序，考生容易找到解题思路，但难点在于，解析题容易找到路标，找到路标之后怎没走和庞大的运算量是困扰考生的关键问题。
解析答题通常是五种线型中两或三种线形组合而成，常见有以下四种题型： 题型一：轨迹与方程（判定线型并求出轨迹方程） 题型二：范围与最值（通常是题目中某个参数的范围）
题型三：定值与定性（证明某个参数的定值或以式子的形式明确的关系） 题型四：存在与探索（讨论存在性） 【考点精析】
考点一 曲线（轨迹）方程的求法 常见的求轨迹方程的方法：
（1）单动点的轨迹问题——直接法（五步曲）＋ 待定系数法（定义法）； （2）双动点的轨迹问题——代入法；
（3）多动点的轨迹问题——参数法 ＋ 交轨法。
例题1. 已知⊙M：x2?(y?2)2?1,Q是x轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点，（1）如果|AB|?42，求直线MQ的方程； 3 （2）求动弦AB的中点P的轨迹方程.
解析：（1）两点确定一条直线；（2）利用平面几何知识，找出关系。
42|AB|22221，可得|MP|?|MA|2?()?12?()?,由射3233影定理，得 |MB|2?|MP|?|MQ|,得|MQ|?3, 在Rt△MOQ中，
答案：（1）由|AB|?22 |OQ|?|MQ|?|MO|?32?22?5，
故a?5或a??5， 所以直线AB方程是
2x?5y?25?0或2x?5y?25?0; （2）连接MB，MQ，设P(x,y),Q(a,0),由
点M，P，Q在一直线上，得
2y?2?,(*)由射影定理得|MB|2?|MP|?|MQ|, ?ax222即x?(y?2)?a?4＝1（**）
把（*）及（**）消去a，
7212(y?2). 并注意到y?2，可得x?(y?)?416点评：合理应用平面几何知识，这是快速解答本题的关键所在。
例题2. （湖北省十一校）在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点为 A（0，－1），B（0，
??????????????????????????1）平面内两点G、M同时满足：①GA?GB?GC?0 ， ②|MA|＝ |MB|＝ |MC| ?????????③GM∥AB
（1）求顶点C的轨迹E的方程
????????（2）设P、Q、R、N都在曲线E上 ，定点F的坐标为（2， 0） ，已知PF∥FQ ，
????????????????RF ∥FN且PF2RF＝ 0.求四边形PRQN面积S的最大值和最小值.
分析：本例（1）要熟悉用向量的方式表达点特征；（2）要把握好直线与椭圆的位置关系，
弦长公式，灵活的运算技巧是解决好本题的关键。
????????????????????解：（1）设C ( x ， y )， ?GA?GB?2GO，由①知GC??2GO，?G为
xy△ABC的重心 ， ? G(，) 由②知M是△ABC的外心，?M在x轴上
33x 由③知M（，0），
3?????????x2x22由|MC| ? |MA| 得()?1?(x?)?y
33x2?y2?1（x≠0）。 化简整理得：3x2?y2?1的右焦点 （2）F（2，0 ）恰为32 设PQ的斜率为k≠0且k≠±，则直线PQ的方程为y ＝ k ( x －2) 2??y?k(x?2)2222?(3k?1)x?62kx?6k?3?0 由?22??x?3y?3?06k2?362k2设P(x1 ， y1) ，Q (x2 ，y2 ) 则x1 ＋ x2 ＝ ， x12x2 ＝2 23k?13k?1则| PQ | ＝1?k2 ·
2(x1?x2)2?4x1x2
62k226k2?3 ＝ 1?k ·(2 )?4?23k?13k?123(k2?1) ＝ 23k?1123(k2?1) ?RN⊥PQ，把k换成?得 | RN | ＝ 2k3?k1 ?S ＝| PQ | · | RN |
26(k2?1)28 ＝ ＝) 2?221(3k?1)(k?3)3(k2?2)?10k18?3(k2?2)?10?
k2?S18?k2?2≥2 ， ?≥16
k2?S3?≤ S < 2 ， (当 k ＝ ±1时取等号) 2又当k不存在或k ＝ 0时S ＝ 2 综上可得
3 ≤ S ≤ 2 2 ?Smax ＝ 2 ， Smin ＝
3 2点评：本题考查了向量的有关知识，椭圆与直线的基本关系，二次方程的根与系数的关系及
不等式，转化的基本思想方法以及运用综合知识解决问题的能力。
考点二 圆锥曲线的几何性质
x2y2??1 的两个焦点，P为上一点，已知P、F1、F2是一个例题3．设F1、F2为椭圆94|PF1|直角三角形的三个顶点，且｜PF1｜＞｜PF2｜，求的值.
|PF2|分析：由已知，F1不是直角顶点，所以只要对P、F2中哪一个是直角顶点分两种情况即可. 解法1：由已知，｜PF1｜＞｜PF2｜，｜PF1｜＋｜PF2｜＝6，｜F1F2｜＝25， 若∠PF2F1为直角，则｜PF1｜2＝｜PF2｜2＋｜F1F2｜2，可解得：｜PF1｜＝＝
14，｜PF2｜3|PF1|74，这时?. 3|PF2|2|PF1|?2.
|PF2||PF1|74144），这时｜PF1｜＝，｜PF2｜＝，这时?.若∠PF2F1333|PF2|2若∠F2PF1为直角，则｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝｜F1F2｜2，可解得：｜PF1｜＝4，｜PF2｜＝2，这时
解法2：由椭圆的对称性，不妨设P(x，y)（其中x>0，y>0），F1(?5,0),F2(5,0).若∠PF2F1为直角，则P（5,
?x2y2??1?3545?94为直角，则由?，解得：P(,). yy55????1??x?5x?5|PF1|于是｜PF1｜＝4，｜PF2｜＝2，这时?2.
|PF2|点评：由椭圆的方程，熟练准确地写出其几何性质（如顶点，焦点，长、短轴长，焦距，离心率，焦半径等）是应对考试必备的基本功；在解法2中设出了P点坐标的前提下，还可利用｜PF1｜＝a＋ex，｜PF2｜＝a－ex来求解.
例题4．（2006年湖北省高考题）设A,B分别为椭圆
x2y2??1(a,b?0)的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，a2b2且x?4为它的右准线
yMAP（Ⅰ）、求椭圆的方程；
（Ⅱ）、设P为右准线上不同于点（4，0）的任意一点， 若直线AP,BP分别与椭圆相交于异于A,B的点M、N，证明：点B在
oNB(4,0)x以MN为直径的圆内
分析：本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力 a2解：（Ⅰ）依题意得 a＝2c，＝4，解得a＝2，c＝1，从而b＝3
cx2y2??1 故椭圆的方程为 43（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0） 设M（x0，y0）
yMAPoNB(4,0)x∵M点在椭圆上，∴y0＝
3（4－x02） ① 4又点M异于顶点A、B，∴－2 6y0 ） x0?2?????从而BM＝（x0－2，y0）， ????6y0BP＝（2，） x0?22?????????6y02∴BM2BP＝2x0－4＋＝（x02－4＋3y02） ② x0?2x0?2?????????5将①代入②，化简得BM2BP＝（2－x0） 2?????????∵2－x0>0，∴BM2BP>0，则∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角， P（4， 故点B在以MN为直径的圆内 解法2：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0） 设M（x1，y1），N（x2，y2）， 则－2 x1?x2y?y2，1）， 22BQ－ 2x?x2y?y22112MN＝(1－2）2＋（1）－[(x1－x2)2＋(y1－y2)2] 4422 ＝（x1－2) (x2－2)＋y1y1 ③ 又直线AP的方程为y＝ y1y2(x?2)，直线BP的方程为y＝(x?2)， x1?2x2?2而点两直线AP与BP的交点P在准线x＝4上， ∴ 6y16y2（3x2?2)y1，即y2＝ ④ ?x1?2x2?2x1?222xy322又点M在椭圆上，则1?1?1，即y1?(4?x1) ⑤ 4431522于是将○4、○5代入○3，化简后可得BQ－MN＝（2－x1)(x2?2)?0 44从而，点B在以MN为直径的圆内 点评：本题关键是联系直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力 考点三 有关圆锥曲线的定义的问题 利用圆锥曲线的第一、第二定义求解 例题5．已知某椭圆的焦点F1（－4，0），F2（4，0），过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个焦点为B，且＝10，椭圆上不同两点A（x1，y1），C(x2，y2)满足条件｜F2A｜，｜F2B｜，｜F2C｜成等差数列.（1）求该椭圆的方程；（2）求弦AC中点的横坐标. 分析：因为已知条件中涉及到椭圆上的点到焦点的距离，所以可以从椭圆的定义入手. 解：（1）由椭圆的定义及已知条件知：2a＝｜F1B｜＋｜F2B｜＝10，所以a＝5， x2y2??1. 又c＝3，故b＝4.故椭圆的方程为 259由点B（4，y0）在椭圆上，得｜F2B｜＝｜y0|＝ 925，因为椭圆的右准线方程为x?，离5444254?x1)?5?x1, .所以根据椭圆的第二定义，有|F2A|?(55454254|F2C|?(?x2)?5?x2.因为｜F2A｜，｜F2B｜，｜F2C｜成等差数列， 545449于是5?x1＋5?x2?2?，所以： x1＋x2＝8， 555x?x2?4。 从而弦AC的中点的横坐标为12心率e?点评：涉及椭圆、双曲线上的点到两个焦点的距离问题，常常要注意运用第一定义，而涉及曲线上的点到某一焦点的距离，常常用圆锥曲线的统一定义.对于后者，需要注意的是右焦点与右准线对应，不能弄错. 考点四 直线与圆锥曲线位置关系问题 利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为一元二次方程，利用判别式、韦达定理来求解或证明. 例题6．（2007江西吉安）已知双曲线的两条渐近线方程为直线 l1:y?3x和l2:y??3x，其焦点在x轴上，实轴长为2. （Ⅰ）求双曲线的方程； （Ⅱ）设直线l:y?kx?1与双曲线相切于点M且与右准线交于N，F为右焦点，求证：∠MFN为直角. 分析：将直线方程和抛物线方程组成的方程组转化为一元二次方程，用韦达定理来求解. 解：（Ⅰ）由题意，设双曲线方程为 3x?y??(??0)?22x2?3?y2??1 y2?1 又2a?2?a?1 ??1???32?2?a?1，∴方程为x?33?2k2?3?3?k2?0??（Ⅱ）由消去y得(3?k)x?2kx?4?0，由???2?k??2 ????0?k?4当k＝2时得 xM??2，代入y?2x?1得yM??3, ?M(?2,?3) 22?y?2x?11??N(,2) F(2,0)?FM?(?4,?3) ?12x??2?3FN?(?,2)?FM?FN?6?6?0?FM?FN 21当k＝－2时同理得M(2,?3),N(,0) 23F(2,0)?FM?(0,?3),FN?(?,0)?FM?FN?0?FM?FN 2综上：∠MFN为直角. 点评：解析几何解题思维方法比较简单，但对运算能力的要求比较高，平时练习要注意提高自己的运算能力. 考点五 圆锥曲线在高考中的应用 （1）．圆锥曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。