x2y2??1右例题7．（河南省开封市2007届高三年级第三次质量检测）设P是双曲线
416支上任一点.
（1）过点P分别作两渐近线的垂线，垂足分别为E，F，求|PE|?|PF|的值； （2）过点P的直线与两渐近线分别交于A、B两点，且AP?2PB,求?AOB的面积. 分析：（1）要求椭圆的方程及离心率，很重要的一点就是要熟悉这种二次曲线的标准方程的中心、长轴长、短轴长、焦点坐标、标准方程、离心率、焦距等有关概念及几何性质
2x022?1?4x0?y0?16 解：（I）设P(x0,y0),则4 ∵两渐近线方程为2x?y?0
由点到直线的距离公式得
22|4x0?y0|16?|PF|?|PF|??.…………7分
55 （II）设两渐近线的夹角为?，
2?2413|?,cos???, 21?431?tan?54?sin??
5??AOB????,设A(x1,?2x1),B(x2,2x2),则tan??|?|OA|?5x1,|OB|?5x2,(?P是AB的内分点)?|OA|?|OB|?5x1x2.又AP?2PB,
x1?2x2? x?,22?xy?03??代入??1,416?y?2x1?4x2,0?3?(x1?2x2)2(x1?2x2)28xx得??1,即12?1,3636369?x1x2?
21194S?AOB?|OA|?|OB|sin(???)??5???9
2225点评：本题主要考查椭圆的标准方程、几何性质及相关概念，直线方程、平面向量的坐标表
示和向量的数量积，多元二次方程组解法、曲线和方程的关系、直线与椭圆相交等解析几何的基础思想方法，以及分析问题和综合解题能力。 把两个向量之间的关系，转化为两个向量坐标之间的关系，再通过代数运算的方法来解决有关向量的问题是一种常用的解题手段。
例题8．（江苏卷）已知F1(?2,0),F2(2,0),点P满足|PF1|?|PF2|?2，记点P的轨迹为E. （1）求轨迹E的方程；
（2）若直线l过点F2且与轨迹E交于P、Q两点.
（i）无论直线l绕点F2怎样转动，在x轴上总存在定点M(m,0)，使MP?MQ恒成立，求实数m的值.
（ii）过P、Q作直线x?
1
的垂线PA、OB，垂足分别为A、B，记??|PA|?|QB|，2|AB|求λ的取值范围.
解析：（1）由|PF1|?|PF2|?2?|F1F2|知，点P的轨迹E是以F1、F2为焦点的双曲线
y2?1(x?1). 右支，由c?2,2a?2,?b?3，故轨迹E的方程为x?3 （2）当直线l的斜率存在时，设直线方程为y?k(x?2),P(x1,y1),Q(x2,y2)，与双曲
22线方程联立消y得(k2?3)x2?4k2x?4k2?3?0，
?k2?3?0????02?4k ??x?x??0 122k?3??4k2?3?x1?x2?2?0k?3? 解得k2 >3
（i）?MP?MQ?(x1?m)(x2?m)?y1y2
?(x1?m)(x2?m)?k2(x1?2)(x2?2)?(k2?1)x1x2?(2k2?m)(x1?x2)?m2?4k2 ?(k?1)(4k?3)?4k(2k?m)?m2?4k2 222222k?3k?33?(4m?5)k22??m.2k?3222 ?MP?MQ,?MP?MQ?0，
故得3(1?m)?k(m?4m?5)?0对任意的 k?3恒成立，
2??1?m?0,解得m??1. ??2??m?4m?5?02 ∴当m ＝－1时，MP⊥MQ.
当直线l的斜率不存在时，由P(2,3),Q(2,?3)及M(?1,0)知结论也成立， 综上，当m ＝－1时，MP⊥MQ.
1是双曲线的右准线， 2111 由双曲线定义得：|PA|?|PF2|?|PF2|,|QB|?|QF2|，
e22 （ii）?a?1,c?2,?直线x?1?k2|x2?x1||PQ|? 方法一：???
2|AB|2|y2?y1|1?k2|x2?x1|1?k211??1?2. ?2|k(x2?x1)|2|k|2k ?k?3,?0?21113?,故???，
23k23 注意到直线的斜率不存在时，|PQ|?|AB|,此时??1， 2?13??. 综上，???,??23? 方法二：设直线PQ的倾斜角为θ，由于直线PQ与双曲线右支有二个交点，
2?，过Q作QC⊥PA，垂足为C，则
33?|PQ||PQ|11 ?PQC?|??|,??????.
?22|AB|2|CQ|2sin?2cos(??)2?2?3 由???,得?sin??1,
332?13??. 故：???,??23? ?????点评：本题考查了双曲线的第二定义，垂直关系，韦达定理和求参数的范围．
（2）圆锥曲线的标准方程和几何性质与导数的有机联系。 例题9．已知a?(x,0),b?(1,y),(3a?b)?(3a?b). （1）求点P(x,y)的轨迹C的方程；
（2）若直线l:y?kx?1与曲线C交于A、B两点，并且A、B在y轴的同一侧，求实数k的取值范围.
（3）设曲线C与x轴的交点为M，若直线l:y?kx?1与曲线C交于A、B两点，是否存在实数k，使得以AB为直径的圆恰好过点M？若有，求出k的值；若没有，写出理由. 解：（1）由(3a?b)?(3a?b),得到(3a?b)?(3a?b)?0 又a?(x,0),b?(1,y),得3a?b?(3x?1,y),3a?b?(3x?1,?y)
?(3x?1)?(3x?1)?y?(?y)?0，故所求的轨迹方程是3x2?y2?1
22 （2）设A(x1,y1)、B(x2,y2)，把y?kx?1代入3x?y?1，得
(3?k2)x2?2kx?2?0,由3?k2?0且??0,得?6?k?6且k??3
∵A、B在y轴的同一侧，?x1x2?0，得到k??3或k?综上，得k?(?6,?3)?(3,6). （3）由（2）得
3
x1x2?2…②
k2?3x1?x2?2kk2?3…①
y1?kx1?1,y2?kx2?1……③
∵曲线C与x轴交点M1(33,0)、M2(?,0)，若存在实数k，符合题意，则 3333)?(x2?)?y1y2?0 33MA?MB,不妨取点M1,M1A?M1B?0,得(x1?将①②③式代入上式，整理得到2k2?3k?3?0，解得k??3(k?3舍去）
2根据曲线的对称性，知存在实数k??3，使得以AB为直径的圆恰好过M点 2点评：本题是向量，轨迹，直线与圆锥曲线的位置关系的有机结合。
考点六 求范围
事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.
范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.
x2y2??1的两个焦点F1、F2的距离之和为定值，且 例题11．已知动点P与双曲线231cos?F1PF2的最小值为?．
9（１）求动点P的轨迹方程；
（２）若已知D(0,3)，M、N在动点P的轨迹上且DM??DN，求实数?的取值范围． 分析：为了求参数的取值范围，只要列出关于参数的不等式，而建立不等式的方法有多种方法，诸如：判别式法、均值不等式法、有界性法等等． 解：(１)由题意c?5．设|PF1|?|PF2|?2a（a?25），由余弦定理， 得
|PF1|2?|PF2|2?|F1F2|22a2?10cos?F1PF2???1．
2|PF1|?|PF2||PF1|?|PF2|
|PF1|?|PF2|2)?a2，
2当且仅当|PF|PF2| 取最大值， 1|?|PF2|时，|PF1|·|PF2|?(又|PF1|·
2a2?102a2?101?1???1此时cos?F1PF2取最小值，令， 229aa22解得a?9，?c?5，∴b?4，
x2y2??1. 故所求P的轨迹方程为94（２）设N(s,t)，M(x,y)，则由DM??DN，可得 (x,y?3)??(s,t?3)，
故x??s,y?3??(t?3). ∵M、N在动点P的轨迹上， s2t2(?s)2(?t?3?3?)2??1， ???1且9494(?t?3?3?)2??2t2?1??2，解得 消去s可得
413??5t?，
6?13??51|?2，解得???5， 又|t|?2，∴|6?51故实数?的取值范围是[,5]．
5点评：新教材的高考已经进行了５年，而解析几何解答试题和向量综合呈现了新高考的崭新亮点，体现了向量知识的工具性和广泛的应用性．
三、方法总结与2008年高考预测
（一）方法总结
1．求曲线方程常利用待定系数法，求出相应的a，b，p等.要充分认识椭圆中参数a，b，c，e的意义及相互关系，在求标准方程时，已知条件常与这些参数有关.
2．涉及椭圆、双曲线上的点到两个焦点的距离问题，常常要注意运用第一定义，而涉及曲线上的点到某一焦点的距离，常常用圆锥曲线的统一定义.对于后者，需要注意的是右焦点与右准线对应，不能弄错.
3．直线与圆锥曲线的位置关系问题，利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为一元二次方程，利用判别式、韦达定理来求解或证明.
4．对于轨迹问题，要根据已知条件求出轨迹方程，再由方程说明轨迹的位置、形状、大小等特征.求轨迹的常用方法有直接法、定义法、参数法、代入法、交轨法等.
5．与圆锥曲线有关的对称问题，利用中心对称以及轴对称的概念和性质来求解或证明. （二）2008年高考预测
1．求曲线（轨迹）方程的常用方法（直译法、定义法、待定系数法、动点转移法、参数法等）。
2．掌握综合运用直线的基础知识和圆的性质，解答直线与圆的位置关系的思想方法。 3．解析几何是衔接初等数学和高等数学的纽带。 直线与圆锥曲线是解析几何的重要内容，因而成为高考考查的重点。综观近几年的全国和部分省高考数学试题，本专题列出高考考查的热点内容有： （1）直线方程；
（2）圆锥曲线的标准方程； （3）圆锥曲线的几何性质；
（4）直线与圆锥曲线的位置关系；
（5）求曲线（轨迹）方程。特别是求曲线（轨迹）方程和直线与圆锥曲线的位置关系问题是高考解析几何问题的热中之热。
四、强化训练 （一）选择题
x2y21．双曲线2?2?1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（ ）
ba3（A） 2 （B） 3 （C）2 （D）
22．椭圆短轴长是2，长轴长是短轴长的2倍，则椭圆中心到其准线的距离是（ ）
84845 （B）3 （D）3 5 （C）5335223．?是任意实数，则方程x?ysin??4的曲线不可能是（ ）
（A）（A）椭圆 （B）双曲线 （C）抛物线 （D）圆
x2y2??1的离心率e?(1,2)，则k的取值范围是（ ） 4．双曲线
4k（A）(??,0) （B）(?12,0) （C）(?3,0) （D）(?60,?12) x2y2???1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（） 5．以
412x2y2x2y2??1 （B）??1 （A）
16121216x2y2x2y2??1 （D）??1 （C）
164416x2y2x2y26．2?2?1与2?2?1(a?b?0)的渐近线（ ）
abba