?x2y2??1?8?4由??(6?3k2)x2?24kx?56?0.
3?3??y?kx?4∵P、Q两点分别在双曲线的两支上，?6?3k?2
40. 3
????242k2?4?56(6?3k2)?0?14?k?14,?24k???x3?x4?,2 6?3k??56?x?x??0??2?k2.34?26?3k???2?k?2.此时y3y4?(kx3?4)(kx4?4)?k2x3x4?4k(x3?x4)?16. ?x3x4?y3y4?(1?k2)x3x4?4k(x3?x4)?16?56k2?56?96k2?96?48k240?8k2??.226?3k3(2?k)
2040?8k240???.33(2?k2)322?5?40?20k?40?8k2???0?k?.224??40?8k?80?40k
555又?2?k?2,?k2?[0,],即k?[?,].
42255,]. ∴PQ斜率取值范围是[?22x2y22219．解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为：2?2?1(a?b?0)，则a?b?1．……①
abb2b2?当l垂直于x轴时，A,B两点坐标分别是(1,)和(1,?)，
aab2b2b4b45?OA?OB?(1,)?(1,?)?1?2，则1?2?，即a2?6b4．………②
aa6aa42由①，②消去a，得6b?b?1?0．
11?b2?或b2??（舍去）．
231322当b?时，a?．
222x2?2y2?1． 因此，椭圆C的方程为3（Ⅱ）设存在满足条件的直线l．
2b26?(1)当直线l垂直于x轴时，由（Ⅰ）的解答可知AB?，焦点F到右准线的距a3
a213?c?，此时不满足d?离为d?AB． c22因此，当直线l垂直于x轴时不满足条件．
（2）当直线l不垂直于x轴时，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x－1)．
?y?k(x?1),?2222由?2x2(6k?2)x?12kx?6k?3?0， ?2?2y?1??3设A,B两点的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2)，则
6k26k2?3x1?x2?2，x1x2?． 23k?16k?2AB?1?k2x1?x2?(1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2]
6(k2?1)6k226k2?3． ?(1?k)[(2)?4(2)]?23k?13k?16k?2x1?x23k2?2又设AB的中点为M，则xM?． 23k?11当?ABP为正三角形时，直线MP的斜率为kMP??．
k3?xP?，
221133k21?k23(k2?1)． ?MP?1?2xP?xM?1?2?(?2)??2223k?1kkk2(3k?1)1?k23(k2?1)36(k2?1)3?当?ABP为正三角形时，MP?＝， ?AB，即222k2(3k?1)223k?1解得k?1，k??1．
因此，满足条件的直线l存在，且直线l的方程为x?y?1?0或x?y?1?0． 20．解：（Ⅰ）?e?23c3 ?a?3,则b?a2?c2?2 ,2c?2,即?3a3x2y2??1 ∴椭圆的方程为32?x2y2?1??2联立?3消去y得：5x?6x?3?0 设A(x1,y1),B(x2,y2) 2?y??x?1?63则x1?x2?,x1x2??
55?|AB|?(x1?x2)2?(y1?y2)2?[1?(?1)2](x1?x2)2?4x1x2
61283 ?2()2??555 （Ⅱ）设A(x1,y1),B(x2,y2)
?OA?OB ?OA?OB?0，即x1x2?y1y2?0
?x2y2?1??由?a2b2消去y得(a2?b2)x2?2a3x?a2(1?b2)?0 ?y??x?1?由??(?2a2)2?4a2(a2?b2)(1?b2)?0 整理得a?b?1
222a2a2(1?b2)x1x2?2又x1?x2?2 22a?ba?b?y1y2?(?x1?1)(?x2?1)?x1x2?(x1?x2)?1 由x1x2?y1y2?0 得：2x1x2?(x1?x2)?1?0 2a2(1?b2)2a2??2?1?0 222a?ba?b2222整理得：a?b?2ab?0 ?b2?a2?c2?a2?a2e2
11122?a?(1?) 代入上式得2a?1? 2221?e1?e11131222 ??e? ??1?e? ??e?4224224171???2??1??3 2231?e31?e73??a2? 适合条件a2?b2?1 6242642由此得 ??a??2a?6
623故长轴长的最大值为6
x2y221．解：（I）设双曲线方程为2?2?1(a?0,b?0).
ab 由已知得a?3,c?2,a2?b2?c2,得b2?1. x2?y2?1. 故双曲线C的方程为3?y?kx?m,?（II）联立?x2 2??y?1.?3 整理得(1?3k2)x2?6kmx?3m2?3?0. ?直线与双曲线有两个不同的交点，
2??1?3k?0,?? 22????12(m?1?3k)?0.22 可得m?3k?1. ①
设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点为B(x0,y0).
整理得3k2＝4m＋1. ②
将②代入①，得m2－4m>0，∴m<0或m>4. 又3k2＝4m＋1>0（k≠0），即m>－∴m的取值范围是（－
x1?x26km3kmm,x??,y?kx?m?. 00021?3k21?3k21?3k2m?121由题意,AB?MN,?kAB?1?3k??(k?0,m?0).3kmk1?3k2则x1?x2?1. 41，0）∪（4，＋∞）. 422．解：（1）设P点坐标为（x，y）则
(x?1)2?y2(x?1)2?y2?2,化简得(x?3)2?y2?8, 2所以曲线C的方程为(x?3)2?y2?8;
（2）曲线C是以（－3，0）为圆心，22为半径的圆，曲线C′也应该是一个半径为
22 的圆，点（－3，0）关于直线y＝x的对称点的坐标为（0，－3），所以曲线C′的方程为x2?(y?3)2?8.
又O是C′对称中心，则O（0，－3）到直线y?x?m?3的距离d为
|0?(?3)?m?3||m|d??,
2221?(?1)11m2m22S?ABO??d?|AB|??d?28?d?(8?)??7
2222m2m2??1,或?7,
22所以，m??2,或m??14。
（四）创新试题
如图，已知过点D(?2,0)的直线l与椭圆
PMADyBlx2?y2?1交于不同的两点A、B，点M是弦AB2的中点．
????????????（Ⅰ）若OP?OA?OB，求点P的轨迹方程；
|MD|
（Ⅱ）求的取值范围．
|MA|
Ox
解析：
（Ⅰ）①若直线l∥x轴，则点P为(0,0)； ②设直线l:x?my?2，并设点A,B,M,P的坐标分别是
?x?my?2,消去x，得 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),P(x,y)，由?22?x?2y?2(m2?2)y2?4my?2?0， ①
由直线l与椭圆有两个不同的交点，可得??(?4m)2?8(m2?2)?0，即8(m2?2)?0，
2所以m?2． ????????????4m由OP?OA?OB及方程①，得y?y1?y2?2，
m?28x?x1?x2?(my1?2)?(my2?2)??2，
m?28?x??,2??m?2即?由于m?0（否则，直线l与椭圆无公共点），将上方程组两式相除得，?y?4m.?m2?2?2ym??，
x88代入到方程x??2，得x??，整理，得x2?2y2?4x?0（?2?x?0)．
2ym?2(?)2?2x综上所述，点P的轨迹方程为x2?2y2?4x?0（?2?x?0)．
（Ⅱ）①当l∥x轴时，A,B分别是椭圆长轴的两个端点，则点M在原点O处，所以，
y?y2m|MD|, ?2； ②由方程①，得y0?12?2|MD|?2,|MA|?2，所以，2m?2|MA|222|m|所以，|MD|?1?m|y0?yD|?1?m，
m2?2|y1?y2|2m2?22， |MA|?1?m|y0?y1|?1?m?1?m2m2?22|MD|2m||22所以． 因为m?2，所以?2?(?1,0)，所以??m|MA|2m2?21?2m21?2?(0,1)，
m|MD||MD|?(2,??)．综上所述，?[2,??)． 所以
|MA||MA|22