的积；“首小于1”的正值递增等比数列中，前n项积的最小值是所有小于或等于1的项的积；
(9)有限等比数列中，奇数项和与偶数项和的存在必然联系，由数列的总项数是偶数还是奇数决定.若总项数为偶数，则“偶数项和”＝“奇数项和”与“公比”的积；若总项数为奇数，则“奇数项和”＝“首项”加上“公比”与“偶数项和”积的和.
（10）并非任何两数总有等比中项. 仅当实数a,b同号时，实数a,b存在等比中项.对同号两实数a,b的等比中项不仅存在，而且有一对G??ab.也就是说，两实数要么没有等比中项(非同号时)，如果有，必有一对(同号时).在遇到三数或四数成等差数列时，常优先考虑选用“中项关系”转化求解.
(11)判定数列是否是等比数列的方法主要有：定义法、中项法、通项法、和式法(也就是说数列是等比数列的充要条件主要有这四种形式).
4.等差数列与等比数列的联系
(1)如果数列{an}成等差数列，那么数列{Aa}(Aan总有意义)必成等比数列.
n(2)如果数列{an}成等比数列，那么数列{loga|an|}(a?0,a?1)必成等差数列. (3)如果数列{an}既成等差数列又成等比数列，那么数列{an}是非零常数数列；但数列
{an}是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件.
(4)如果两等差数列有公共项，那么由他们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.
如果一个等差数列与一个等比数列有公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到一般的方法”进行研讨，且以其等比数列的项为主，探求等比数列中那些项是他们的公共项，并构成新的数列.
注意：(1)公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究an?bm.但也有少数问题中研究an?bn，这时既要求项相同，也要求项数相同.(2)三(四)个数成等差(比)的中项转化和通项转化法.
5.数列求和的常用方法：
（1）公式法：①等差数列求和公式（三种形式），②等比数列求和公式（三种形式），
2222③1?2?3???n?1n(n?1)，1?2?3???n?1n(n?1)(2n?1)，
261?3?5???(2n?1)?n，1?3?5???(2n?1)?(n?1).
22（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合
并在一起，再运用公式法求和.
（3）倒序相加法：在数列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n和公式的推导方法）.
（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法，将其和转化为“一个新的的等比数列的和”求解（注意：
一般错位相减后，其中“新等比数列的项数是原数列的项数减一的差”！）（这也是等比数列前n和公式的推导方法之一）.
（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：
①③
11?1?1， ②?1(1?1)， n(n?1)nn?1n(n?k)knn?k1k2?1k?12?12k?1(1?1k?1)，
1k?1k?11?1(k?1)k1?1k12?1(k?1)k1?1k?1?1k，
④
n(n?1)(n?2)?2n(n?1)[?(n?1)(n?2)n?1),
] ，⑤
n(n?1)!?1n!?1(n?1)!,
⑥2(n?1?n)?1?2(n?n⑦an?Sn?Sn?1(n?2)，⑧Cnm?1?Cnm?Cnm?1?Cnm?Cnm?1?Cnm?1.
特别声明：?运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时分类讨论. （6）通项转换法。
6.分期付款型应用问题
(1)重视将这类应用题与等差数列或等比数列相联系.
(2)若应用问题像“森林木材问题”那样，既增长又砍伐，则常选用“统一法”统一到“最后”解决.
(3)“分期付款”、“森林木材”等问题的解决过程中，务必“卡手指”，细心计算“年限”作为相应的“指数”. ?
四、三角函数
1.?终边与?终边相同(?的终边在?终边所在射线上)?????2k?(k?Z).
?终边与?终边共线(?的终边在?终边所在直线上)?. ?终边与?终边关于x轴对称??????2k?(k?Z). ?终边与?终边关于y轴对称???????2k?(k?Z). ?终边与?终边关于原点对称???????2k?(k?Z).
一般地：?终边与?终边关于角?的终边对称???2????2k?(k?Z).
sin?cos?22tan?22sin??cos?sin??cos?1220?22?????110110?1101220022?220??1?22101?122?1?2?10?????10?1?2?与?的终边关系由“两等分各象限、一二三四”确定.
222.弧长公式：l?|?|R，扇形面积公式：S?1lR?1|?|R，1弧度(1rad)?57.3?.
223.三角函数符号特征是：一是全正、二正弦正、三是切正、四余弦正.
注意：sin15??cos75????6?42,sin75??cos15????6?42，
5?1. 44.三角函数线的特征是：正弦线“站在x轴上(起点在x轴上)”、余弦线“躺在x轴上
tan15?cot75?2?3,tan75?cot15?2?3，sin18??(起点是原点)”、正切线“站在点A(1,0)处(起点是A)”.务必重视“三角函数值的大小与单位圆上相应点的坐标之间的关系，‘正弦’?‘纵坐标’、‘余弦’?‘横坐标’、‘正切’?‘纵坐标除以横坐标之商’”；务必记住：单位圆中角终边的变化与sin??cos?值的大小变化的关系.?为锐角?sin????tan?.
5.三角函数同角关系中，平方关系的运用中，务必重视“根据已知角的范围和三角函数的取值，精确确定角的范围，并进行定号”；
6.三角函数诱导公式的本质是：奇变偶不变，符号看象限.
7.三角函数变换主要是：角、函数名、次数、系数(常值)的变换，其核心是“角的变换”! 角的变换主要有：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.
如??(???)???(???)??， 2??(???)?(???)，2??(???)?(???)
????2????2，
???2?????2?????等.
?2?2常值变换主要指“1”的变换：
1?sinx?cosx?secx?tanx?tanx?cotx?tan??sin??cos0??等.
42222三角式变换主要有：三角函数名互化(切割化弦)、三角函数次数的降升(降次、升次)、运算结构的转化(和式与积式的互化). 解题时本着“三看”的基本原则来进行:“看角、看函数、看特征”,基本的技巧有:巧变角,公式变形使用,化切割为弦,用倍角公式将高次降次.
注意：和(差)角的函数结构与符号特征；余弦倍角公式的三种形式选用；降次(升次)
sinxcosx’的内存联系”(常和三角换公式中的符号特征.“正余弦‘三兄妹—sinx?cosx、元法联系在一起t?sinx?cosx
?[?2,2],sinxcosx? ).
辅助角公式中辅助角的确定：asinx?bcosx?象限由a, b的符号确定，?角的值由tan??baa?bsin?x???(其中?角所在的
22确定)在求最值、化简时起着重要作用.尤其
是两者系数绝对值之比为1或3的情形.Asinx?Bcosx?C有实数解?A2?B2?C2.
8.三角函数性质、图像及其变换：
(1)三角函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、有界性和周期性
注意：正切函数、余切函数的定义域；绝对值对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变；其他不定. 如y?sin2x,y?sinx的周期都是?, 但
y?sinx?cosx2y?sinx?cosx的周期为?2， y=|tanx|的周期不变，问函数
y=cos|x|,y?sinx,y?sinx,y?cos(2)三角函数图像及其几何性质： ?sin(Asin(??)?)yy=Aωx+xφOx ，y=cos|x|是周期函数吗？
三角函数图象几何性质yx三角函数图象几何性质 y=ωxφyA?tan(Atan(?+x?)?)yOxx3x4邻中心轴相距x3x=x1T4x4x=x1x=x2x=x2邻中心|x3-x4|= T/2无穷对称中心:由y=0或y无意义确定邻中心|x3-x4|=T/2无穷对称中心:由y=0确定邻轴|x1-x2|=T/2无穷对称轴:由y=A或-A确定 (3)三角函数图像的变换：两轴方向的平移、伸缩及其向量的平移变换.
(4)三角函数图像的作法：三角函数线法、五点法(五点横坐标成等差数列)和变换法. 9.三角形中的三角函数：
(1)内角和定理：三角形三角和为?，任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形?三内角都是锐角?三内角的余弦值为正值?任两角和都是钝角?任意两边的平方和大于第三边的平方.
(2)正弦定理：
a?b?c?2R(R为三角形外接圆的半径).
sinAsinBsinC邻渐近线|x1-x2|=T无对称轴任意一条y轴的垂线与正切函数图象都相交,且相邻两交点的距离为一个周期！注意：已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.
b?c?a(3)余弦定理：a?b?c?2bccosA,cosA?2bc222222(b?c)?a??1等，
2bc22常选用余弦定理鉴定三角形的类型.
(4)面积公式：S?1aha?1absinC?abc.
224R
10.反三角函数：
(1)反正弦arcsixn、反余弦arccosx、反正切arctaxn的取值范围分别是
[???2,2],[0,?],(???2,2).
(2)异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角、向量的夹角的范围依次是(0,?2]，[0,?2],[0,?]，[0,?].直线的倾斜角、l1到l2的角、l1与l2的夹角的范围依次是
[0,?),[0?,),(0,. ]2?五、向 量
1.向量运算的几何形式和坐标形式，请注意：向量运算中向量起点、终点及其坐标的特征.
????????AB，特别：2.几个概念：零向量、单位向量(与AB共线的单位向量是?????????AB(?????AB????????ACAB)?(?????????ACAB?????AC)、????平行(共线)向量(无传递性，是因为有0)、相等向量(有AC|AB|??传递性)、相反向量、向量垂直、以及一个向量在另一向量方向上的投影（a在b上的投影?????a?b是?acos?a,b????R).
b????????23.两非零向量平行(共线)的充要条件a//b?a??b ?(a?b)?(|a||b|)2
?x1x2?y1y2?0.
???????? 两个非零向量垂直的充要条件a?b?a?b?0?|a?b|?|a?b|
?x1x2?y1y2?0.
特别：零向量和任何向量共线. a??b是向量平行的充分不必要条件!
4.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数?1、?2，使a=?1e1＋?2e2.
???????? AC共线； 5.三点A、B、C共线?AB、、向量PA、 PB、 PC中三终点A、B????????????C共线?存在实数?、?使得：
????????????PA??P?B?P????1. 且
????????226.向量的数量积：|a|?(a)?a?a，a?b?|a||b|cos??x1x2?y1y2，