Information Economics ''si'不是针对{s1,?,si'?1,si'?1,?sn}的最优反应战略，即在Si中存在si\，使得：
''''ui(s1,?si'?1,si',si'?1,?,sn)?ui(s1,?,si'?1,si\,si'?1,?sn)。
''{s,?,s}不是纳什均衡，则至少有一个参与人有动因偏离理论1n那么，如果博弈论提供的战略组合解
的预测，使得博弈真实进行和理论预测不一致。和纳什均衡推导密切相关的是协议的理念：对给定的博弈，
如果参与人之间要商定一个协议决定博弈如何进行，那么一个有效的协议中的战略组合必须是纳什均衡的战略组合，否则，至少有一个参与人会不遵守该协议。
为更准确的理解这一概念，下面求解几个例题。考虑前面已描述过的三个标准式博弈——囚徒困境、表3.2.2-1和表3.2.2-4。寻找纳什均衡的一个最直接办法就是简单查看每一个可能的战略组合是否符合定义中不等式成立的条件。在两人博弈中，这一方法开始的程序如下：对每一个参与人，并且对该参与人每一个可选战略，确定另一参与人相应的最优战略。表3.2.3-1中，就把表3.2.2-4所示博弈作了上述处理，对参与人i的每一个可选战略，在参与人j使用最优反应战略时的收益下面划了横线。例如，如果列参与人选择左，行参与人的最优战略将会是中（因为4比3和0都要大），于是我们在双变量矩阵（中，左）单元格内行参与人的收益4下划一条横线。
表3.2.3-1 根据定义求纳什均衡
上 中 下 左 0，4 4，0 3，5 中 4，0 0，4 3，5 右 5，3 5，3 6，6 如果在一对战略中，每一参与人的战略都是对方战略的最优反应战略，则这对战略满足纳什均衡定义中不等式的条件（亦即双变量矩阵相应单元格的两个收益值下面都被划了横线）。这样，（下，右）是惟一一对满足定义中不等式的战略组合。同样的过程可得到囚徒困境中的战略组合（招认，招认）、表3.2.2-1中的战略组合（上，中）。这些战略组合就是各自博弈中唯一的纳什均衡。
【例3.2.3-1：智猪博弈】
这个例子讲的是，猪圈里圈两头猪，一头大猪，一头小猪。猪圈的一头有一个猪食槽，另一头安装一个按钮，控制着猪食的供应。按一下按钮会有10个单位的猪食进槽，但谁按按钮谁就需要付2个单位的成本。若大猪先到，大猪吃到9个单位，小猪只能吃1个单位；若同时到，大猪吃7个单位，小猪吃3个单位；若小猪先到，大猪吃6个单位，小猪吃4个单位。表3.2.3-2列出了对应不同战略组合的支付水平。
表3.2.3-2 智猪博弈
大猪
按 等待
小猪
按 5，1 9，-1 等待 4，4 0，0 3.2.4纳什均衡与重复剔除严格劣战略均衡的关系 如果重复剔除严格劣战略后只剩下一组惟一的战略组合，则该战略组合必为纳什均衡（证明从略）。 反之，如果一组战略组合是纳什均衡，那它一定不会被重复剔除严格劣战略所剔除（证明从略）。 重复剔除严格劣战略后剩下的战略组合，也即无法剔除的战略组合，不一定是纳什均衡。为理解这一点，请想一下表3.2.2-4所示博弈，纳什均衡给出了惟一解（下，右），但重复剔除严格劣战略却给出了最大不确定性预测：没有任何战略组合被剔除，什么结果都有可能出现。
3.2.5纳什均衡的不惟一性
我们再看一个经典的例子——性别战博弈。这一例子表明一个博弈可以有多个纳什均衡。关于这一博弈的传统表述是一男一女试图决定安排一个晚上的娱乐内容。不在同一地方工作的帕特和苏珊必须就去听歌剧和看职业拳击赛选择其一，帕特和苏珊都希望两人能在一起渡过一个夜晚，而不愿分开，但帕特更希
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Information Economics 望能一起看拳击比赛，苏珊则希望能一起欣赏歌剧，如下面双变量矩阵所示：
表3.2.5-1 性别战博弈
苏珊
歌剧 拳击
帕特 歌剧 2，1 0，0 拳击 0，0 1，2 在此博弈中，（歌剧，歌剧）和（拳击，拳击）都是纳什均衡。
多个纳什均衡的存在，说明博弈论对有些博弈并不能提供惟一解，参与人之间也不能就该博弈的进行达成协议。在这样的博弈中，纳什均衡用于预测博弈将如何进行的作用就大大减弱了。
【例3.2.5-1：斗鸡博弈】设想两个人举着火棍从独木桥的两端走向中央进行火拚，每个人都有两种战略：继续前进和退下阵来。若两人都继续前进，则两败俱伤；若一方前进另一方退下来，前进者取得胜利，退下来的丢了面子；若两人都退下来，两人都丢面子。支付矩阵如表3.2.5-2所示。
表3.2.5-2 斗鸡博弈
A
进 退
B 进 -3，-3 0，2 退 2，0 0，0 3.2.6古诺的双寡头垄断模型
古诺（1838）早在一个多世纪之前就已提出了纳什所定义的均衡（但只是在特定的双寡头垄断模型中）。古诺的研究现在已理所当然的成为博弈论的经典文献之一，同时也是产业组织理论的重要里程碑。本例将说明：（1）如何把对一个问题的非正式描述转化为一个博弈的标准式表述；（2）如何通过计算解出博弈的纳什均衡；（3）重复剔除严格劣战略的步骤。
假设市场中只有两个寡头企业1与2，他们生产同样的产品，市场上该产品的价格由需求决定：p=a-Q（更为精确一些的表述为：Qa时，P=0）。Q=q1+q2是总供给，q1、q2分别表示企业1、2生产同质产品的产量。设企业i生产qi的总成本Ci(qi)=cqi，即企业不存在固定成本，且生产每单位产品的边际成本为常数c，这里，我们假定c
为求出古诺博弈中的纳什均衡，我们首先要将其转化为标准式的博弈。前面已经讲过，博弈的标准式表述包含下列要素：（1）博弈的参与人；（2）每一个参与人可以选择的战略；（3）针对每一个可能出现的参与人的战略组合，每一个参与人的收益。双头垄断模型当然只有两个参与人，即模型中的两个垄断企业。在古诺的模型中，每一个企业可以选择的战略是其产品的产量，我们假定产品是连续可分割的。由于产出不可能为负，每一个企业的战略空间就可表示为Si=[0,∞]，即包含所有非负实数，其中一个代表性战略si就是企业选择的产量qi≥0。也许有的读者提出特别大的产量也是不可能的，因而不应包括在战略空间中，不过，由于Q≥a时，P=0，任一企业都不会有qi≥a的产出。
要全面表述这一博弈并求出其均衡解，还需把企业i的收益表示为他自己和另一企业所选择战略的函数。我们假定企业的收益就是其利润额，这样，在一般的两个参与人标准式博弈中，参与人i的收益ui(si,sj)就可写为：
πi=qip-cqi=qi[a-Q]-cqi=qi[a-(qi+qj)-c] 我们照此进行转化：
（1）参与人：寡头1、寡头2
（2）战略：寡头1选择产量q1≥0；寡头2选择产量q2≥0
（3）收益：寡头1的收益为π1=q1p-cq1=q1[a-Q]-cq1=q1[a-(q1+q2)-c]；寡头2的收益为π2=q2p-cq2=q2[a-Q]-cq2=q2[a-(q2+q2)-c]
按照定义，一对战略(s1*,s2*)如是纳什均衡，则对每一个参与人i，si*应该满足ui(si*,sj*)≥ui(si,sj*)
上式对Si中每一个可选战略si都成立，这一条件等价于：对每个参与人i，si*必须是下面最优化问题的解：maxui(si,sj)。
si?Si* 19
Information Economics **在古诺的双头垄断模型中，上面的条件可具体表述为：一对产出组合(q1,q2)若是纳什均衡，对每一
个企业i，qi*应为下面最大化问题的解：
0?qi??*max?i(qi,q*)?maxq[a?(q?qjiij)?c]
0?qi??设q*，企业i最优化问题的一阶条件既是必要条件，又是充分条件： j?a?c（下面将证明该假设成立）
1??iq?(a?c?q*，即?a?c?2qi?q*?0ij) （3.2.6-1） j2?qi**那么，如果产量组合(q1,q2)要成为纳什均衡，企业的产量必须选择满足：
1*(a?c?q2) 21**且q2?(a?c?q1)
2*q1?解这一对方程得：q1?q2?**a?c 3均衡解的确小于a?c，满足上面的假设。
对这一均衡的直观理解非常简单。每一家企业当然都希望成为市场的垄断者，这时它会选择qi使自己的利润
?i(qi,0)最大化，结果其产量将为垄断产量qm?(a?c)/2并可赚取垄断利润
?i(qi,0)?(a?c)2/4。在市场上有两家企业的情况下，要使两家企业总的利润最大化，两企业的产量之
和q1?q2应等于垄断产量qm，比如qi?qm/2就可满足这一条件。但这种安排存在一个问题，就是每一家企业都有动机偏离它：因为垄断产量较低，相应的市场价格p(qm)就比较高，在这一价格下每家企业都会倾向于提高产量，而不顾这种产量的增加会降低市场出清价格。于是古诺的解才是一个大家都不会偏离的均衡，在古诺的均衡解中，两企业的总产量要更高一些，相应的价格有所降低。
如果认为代数方式解纳什均衡过于抽象，难以理解，我们还可以通过图形求解，方法如下。等式3.2.6-1
i给出的是针对企业j的均衡战略s*j时企业的最优反应，同样的方法我们可以推导出针对企业1的任意一
个战略企业2的最优反应，和针对企业2的任意一个战略企业1的最优反应。假定企业1的战略q1满足
q1?a?c，企业2的最优反应为：
R2(q1)?1(a?c?q1)， 2类似的，如果q2?a?c，则企业1的最优反应为：
R1(q2)?
1(a?c?q2)。 220
Information Economics **如图3.2.6-1所示，这两个最优反应函数只有一个交点，其交点就是最优产量组合(q1,q2)。
求解纳什均衡还有第三种方法，即运用重复剔除严格劣战略。
图3.2.6-1 最优反应函数
3.2.7贝特兰德德双头垄断模型
下面我们讨论双头垄断种两个企业相互竞争的另一模型。贝特兰德（1883）提出企业在竞争时选择的是产品价格，而不像古诺模型中选择产量。首先应该明确贝特兰德模型和古诺模型是两个不同的博弈，这一点十分重要：参与人的战略空间不同，收益函数不同，并且（随后就可清楚的看到）在两个模型的纳什均衡中，企业行为也不同。一些学者分别用古诺均衡和贝特兰德均衡来概括所有这些不同点，但这种提法有时可能会导致误解：它只表示古诺和贝特兰德博弈的差别，以及两个博弈中均衡行为的差别，而不是博弈中使用的均衡概念的不同。在两个博弈中，所用的都是上节我们定义的纳什均衡。
考虑两种有差异的产品。如果企业1和企业2分别选择价格p1和p2，消费者对企业i的产品的需求为：qi(pi,pj)?a?pi?bpj，其中b?0，即只限于企业i的产品为企业j产品的替代品的情况（这个需求函数在现实中并不存在，因为只要企业j的产品价格足够高，无论企业i要多高的价格，对其产品的需求都是正的。后面我们将会讲到，只有在b?2时问题才有意义）。和前面讨论过的古诺模型相似，我们假定企业生产没有固定成本，并且边际成本为常数c，c?a，两个企业是同时行动（选择各自的价格）的。
和上节相同，要寻找纳什均衡首先需要把对问题的叙述转化为博弈的标准式。
3.2.8应用
若干经济主体人结成产业内“卡特尔”（cartel），是当代经济生活中利益共谋的一种形式。
卡特尔的宗旨，是协调每个成员的生产决策，主要是限制产量，并从中分享所有可能获得的好处。 一个实际的例子是欧佩克，他们通过压低成员国的产量来维持石油的高价格，从而使所有的成员国获利。但是维持一个卡特尔是困难的，因为他们的协议往往并不是纳什均衡。
不要说若干独立企业结成产业内卡特尔难以获得成功，就是一个上级管理者管理着的若干半独立企业结成产业内卡特尔，或者等价的说由政府部门政策管理着的若干半独立企业结成产业内卡特尔，也面临类似的困境。
近年来，我国民用航空发展规模超前，供大于求造成客源严重不足。为了生存，各航空公司展开激烈的价格战。
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Information Economics 民航总局发布规定限制票价优惠程度，但仍旧挡不住各航空公司暗地降价。
2000年我国几家生产彩电的大厂商合谋将彩电价格维持高位，他们搞了一个“彩电厂家价格自律联盟”，并在深圳举行了由多家彩电厂商首脑参加的“彩电厂商自律联盟高峰会议”。当时，国家有关部门还未出台相关的反垄断法律，对于这种在发达国家明显属于违法行为的所谓“自律联盟”，国家在法律上暂时还是无能为力的。寡头厂商在光天化日之下进行价格合谋，并且还通过媒体大肆炒作，这在发达国家是不可思议的。
但是，尽管政府当时无力制止这种事情，公众也不必担心彩电价格会上涨。这是因为，“彩电厂商自律联盟”只不过是一种“囚徒困境”，彩电价格不会上涨。在高峰会议之后不到二周，国内彩电价格不是上涨而是一路下跌。这是因为厂商们都有这样一种心态：无论其他厂商是否降价，我自己降价是有利于自己的市场份额扩大的。
3.2.9练习
1、下表是两人博弈的战略式表述，其中U和D是参与人1的战略空间，L和R是参与人2的战略空间。
L R U D a,b e,f c,d g,h （1）准确的定义上述博弈的占优战略均衡和纳什均衡。 （2）当a,b,c,d,e,f,g,h之间满足什么条件时，上述博弈存在： （a）占优战略均衡，（b）重复剔除的占优均衡，（c）纯战略纳什均衡。
2、在下表所示的战略式表述博弈中，找出重复剔除的占优均衡。 L M R U M D 4,3 2,1 3,0 5,1 8,4 9,6 6,2 3,6 2,8 3、一对夫妻是如此相爱，以至当他们面对生与死的抉择时，支付矩阵如表1所示；另一对夫妻是如此相恨，不共戴天，支付矩阵如表2所示。求各自的纳什均衡。
表1 相爱的夫妻
活着 死了 活着 死了 活着 2，2 0，-6 死了 -6，0 0，0 死了 6，0 0，0 表2 相恨的夫妻
活着 0，0 0，6 4.设想一男一女，他们各自选择去看拳击还是去看芭蕾。男方想看拳击，女方爱看芭蕾。但对他们来说更重要的是，男方处心积虑想和女方出现在同一场合，可女方却想方设法躲着他。
（1）构造一个博弈矩阵来表示这个博弈，选择相应的数值以符合上述描述。 （2）若参与人同时行动，求纳什均衡。
5.两个企业各有一个工作空缺，假设企业所给的工资不同（其原因不在此讨论，但关系到每一个空缺的价值）：企业I给的工资为wi，这里(1/2)w1 6.两个人就如何分配一元钱进行谈判，双方同时提出各自希望得到的份额，分别为s1和s2，且 22