Information Economics 8.2道德风险
假设你拥有一家公司，亲自出任总经理，由于你的辛勤劳动，每年公司都能赢利1亿以上，现在，你觉得应该有更大的发展了，于是你去竞选市长，当然，你就不可能再有时间去管理公司了，因此，你想请一个职业经理人替你打点公司。市场上一个高级职业经理人的均价为100万/年，你说，“好吧，我给你200万，你来给我当总经理吧。”可到了年底，尴尬的场面出现了，公司只赢利1000万。
委托代理的基本问题：
委托人想使代理人替他做事，当然，委托人希望代理人按照委托人希望的去做，然而委托人却无法把握这一点，因为委托人不能直接观察到代理人的私人信息及行动，能观察到的只是另一些现象，比如年终利润、产出等，这些现象由代理人的行动及自然共同决定。问题是，委托人如何根据观测到的现象奖惩代理人，使得代理人能自觉的选择委托人希望的行动。
仍旧回到上面的问题，显然，对于这样的尴尬局面，你给出的规则——“好吧，我给你200万，你来给我当总经理吧。”——是不能令人满意的。直觉的解决办法是：既然“每年公司都能赢利1亿以上”——这个需要代理人认可，因此，除非出现不可抗力，比如地震、战争、洪水、瘟疫等，否则如果赢利低于1亿，就是总经理不努力，惩罚他年薪为0，只有不低于1亿，才给他200万。
所以，委托代理理论所要讨论的问题，其实是委托人如何设计一个合同/机制，使得代理人能够自觉的按照最有利于委托人的行为去做。而这个合同必然能够满足纳什均衡的要求（大家可以再考虑一下纳什均衡的含义）。
对于委托代理理论，我们先从最简单的情况开始。 一、无自然的影响，可观测代理人的行动。 以下是基本的分析步骤：
参与人：你与总经理（委托人与代理人）
战略：委托人选择给付的合同（工资）w；代理人选择努力程度a。 博弈的次序：
1）委托人提供代理人一个合同w(a)，w(a)依赖于代理人的努力程度a； 2）代理人决定接受或是拒绝该合同； 3）如果代理人接受，他要付出努力a； 4）委托人能观察到努力a；
5）产出q(a)是a的函数，q'(a)?0，q\(a)?0。 效用（支付）：用?表示，假设委托人与代理人风险中性。
如果代理人拒绝合同，代理人得到保留效用u①，即?代?u，而委托人效用为?委?0。
如果代理人接受合同，，先这样表示：?代?薪水带来的效用?努力带来的负效用?代?U(w,a)；委托人的效用?委?产出带来的效用，先这样表示：?委?V(q,w)。 ?支付工资带来的负效用上述问题其实是一个完全信息静态博弈，w(a)、a、?代、?委是共同知识。为了分析的方便，我们把上面的抽象函数给定为具体的函数。假设：
q(a)?100ln(1?a)，u?3，U(w,a)?lnw?a2， V(q,w)?q(a)?w(a)?100ln(1?a)?w。
①
保留效用可理解为市场上的均价。
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Information Economics 这样，委托人选择w，代理人选择a，从而maxU,maxV。由于w(a)是a的函数是共同知识，所以问题变为：
maxU(w,a)?lnw(a)?a2，maxV(q,w)?100ln(1?a(w))?w
a(w),w(a)互为反函数。
前者对a求一阶导数，令为0：
1w'(a)?2a?0 （1） w(a)1a'(w)?1?0 （2）
1?a(w)后者对w求一阶导数，令为0：100''由于w(a)?a(w)?1，（1）（2）两式联立解得：w(a)?50 （3）
a(1?a)对于委托人来讲，他要面临一个约束，我们称其为参与约束，因为委托人在最大化自己利益的时候，前提必须是其付出的工资能够吸引代理人替其工作，这个约束即为：
U(w,a)?lnw?a2?3，
也就是w?e3?a （4） 显然，委托人会选择刚好满足该约束即可，不会多付出，因此w?e（3）（5）联立，解得：
3?a22 （5）
a?0.7127，w?40.96，q?53.81，U?3.2，V?12.8
该解即为纳什均衡解。在此基础上，可以设计三种类型的合同： 1）强制合同
)?40.96，w(a?0.7127)?0，即只要努力为0.7127，就付给40.96，否则，付给令w(a?0.71270。这显然对代理人是一个强烈的激励，使得代理人刚好会选择努力0.7127。
2）门槛合同
)?40.96，w(a?0.7127)?0，即只要努力超过0.7127，就付给40.96，否则，付令w(a?0.7127给0。由于代理人不喜欢努力，所以会刚好选择a?0.7127。
3）线性合同
令w????a使其与代理人的无差异曲线相切于a?0.7127点。由于代理人在a?0.7127点上，线性合同都使得代理人效用受到损失，所以代理人会选择a刚好等于0.7127。
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Information Economics
但是，显然，在实际中，即使代理人努力了，也可能出现坏情况，我们称其为“自然”的影响，自然的影响是一种随机的影响。下面我们就开始考虑这种复杂的情况，同时这一次我们假定代理人的行为也是不可观察的。我们考察这样的情况下，合同应具有什么样的特征。
二、存在自然的影响，代理人的行为不可观察
仍旧假设代理人的行动用a表示，自然用?表示，用g(?)表示?的概率密度。a、?共同决定一个可观察的产出q(a,?)，委托人的问题是根据观察到的q(a,?)决定代理人的报酬w(q)，由于q(a,?)是a、
?的函数，所以w(q)也是a、?的函数，因此，报酬也可表示为w(a,?)。根据上面的说明：
， ?代?薪水带来的效用?努力带来的负效用 ?委?产出带来的效用?支付工资带来的负效用或这样表示：?代?U(w)?c(a)，?委?V(q?w)
c(a)是努力的负效用。
这里由于有随机变量?的影响，所以委托人与代理人的效用是一种期望效用。
?委??V(q(a,?)?w(a,?))g(?)d?
?代??(U(w(a,?))?c(a))g(?)d???U(w(a,?))g(?)d??c(a)
对于委托人来讲，他希望代理人能为他工作，并自觉选择委托人希望的行为a。所以，对于委托人来说，他其实是面临两个约束。
前一个约束其实是保证代理人按a工作得到的效用要不低于代理人的保留效用u，即：
**?U(w(a,?))g(?)d??c(a**)?u
**后一个约束其实是保证代理人按a工作得到的效用要不低于其不按a工作时得到的效用，即：
**''U(w(a,?))g(?)d??c(a)?U(w(a,?))g(?)d??c(a) ?? 35
Information Economics 第一个约束就是前述的参与约束，而第二个我们称为激励相容约束。
在这两个约束的基础上，委托人选择w使自己的利益最大化，即：max?委。 这样，委托代理问题就转化为如下数学模型的求解问题： 目标函数：maxV(q(a,?)?w(a,?))g(?)d? 约束：U(w(a,?))g(?)d??c(a)?u
??**?U(w(a,?))g(?)d??c(a**)??U(w(a',?))g(?)d??c(a')
【例8.4-1】百老汇博弈（Broadway Game）
一个投资人投资50给演出人在百老汇进行一场演出，演出可能成功也可能失败，演出人资金50有两种选择：盗用和不盗用。
如果演出成功，演出人不盗用，演出收入为500； 如果演出成功，演出人盗用，演出收入为100；
如果演出不成功，演出人不盗用，演出收入为-100； 如果演出不成功，演出人盗用，演出收入为-100。 可以这样表示：
努力程度a 或
盗用 不盗用 收入 -100 0.5 0.5 100 0.5 0 500 0 0.5 盗用 不盗用 自然状态（概率?） 失败（0.5） -100 -100 成功（0.5） 100 500 整理一下：
参与人：投资人、演出人
战略：投资人选择工资，演出人选择努力程度 博弈顺序：
1）投资人提供一个工资合同w(q)给演出人，w(q)是q的函数； 2）演出人接受或拒绝；
3）演出人接受后，选择努力程度，即：盗用还是不盗用； 4）自然以等可能性选择选择成功或失败。 效用（支付，这里直接用货币表示）： 如果演出人拒绝，?代?100，?委?0； 如果演出人接受，?代?w(q)?50盗用，?委?q?w(q) ??w(q)不盗用?委托代理问题：
委托人希望代理人不盗用，然而却不能观察到，只能观察到收入，然后根据收入来确定给付的工资。
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Information Economics 根据上面的收入矩阵，工资显然有三种：w(?100)、w(100)、w(500)。
如果代理人盗用，
?委?0.5?(?100?w(?100))?0.5?(100?w(100))?0?(500?w(500))??0.5?(w(?100)?w(100))
?代?0.5?(w(?100)?50)?0.5?(w(100)?50)?0?(w(500)?50)?0.5?(w(?100)?w(100))?50如果代理人不盗用，
?委?0.5?(?100?w(?100))?0?(100?w(100))?0.5?(500?w(500))?200?0.5?(w(?100)?w(500))
?代?0.5?w(?100)?0?w(100)?0.5?w(500)?0.5?(w(?100)?w(500))委托代理模型为：
max{200?0.5[w(?100)?w(500)]} ??代不盗用?100 s.t. ????代盗用?代不盗用即：
max{200?0.5[w(?100)?w(500)]}
0.5(w(?100)?w(500))?100? s.t.??0.5(w(?100)?w(500))?0.5(w(?100)?w(100))?50约束条件化简为：
w(?100)?w(500)?200 ?w(100)?w(500)?100
由于目标函数的存在，显然w(?100)?w(500)?200， 这样，一个满足的解为：
w(?100)?100w(100)??? w(500)?100一般的，随着产出的增加，付给代理人的工资也会相应提高，但是从该题的解中我们看出，却不是这么回事。
为什么？我们会争论到，工资是用来奖惩代理人的行为的，但是产出却受代理人行为与自然的共同影响。如果产出高的原因是自然，那么奖励其实并没有起到激励代理人行为的目的，其实奖励的是自然，代理人因此会心存侥幸。
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