2006年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题：1-6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (1) lim?n???n?1???n???1?n?_________
fx(2) 设函数f(x)在x?2的某领域内可导,且f??x??e??,f?2??1,则f????2??______
(3) 设函数f(u)可微,且f??0??122,则z?f?4x?y?在点(1,2)处的全微分dz2?1,2??_____
?21?(4) 设矩阵A???,E为2阶单位矩阵,矩阵E满足BA?B?2E,则B?_________
??12?(5) 设随机变量X与Y相互独立,且均服从区间?0,3?上的均匀分布,则Pmax?X,Y??1?
??_________
(6) 设总体X的概率密度为f?x??221?xe????x????,x1,x2,......xn为总体x的简单随2机样本,其样本方差S,则ES=__________
二、选择题：9-14小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
(7) 设函数y?f(x)具有二阶导数，且f?(x)?0,f??(x)?0，?x为自变量x在x0处的增量，?y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若?x?0，则( )
(8) 设函数f?x?在x?0处连续,且limh?0(A)0?dx??y. (C)?y?dy?0.
(B)0??y?dy.
(D)dy??y?0.
f?h2?h2?1,则( )
'(A)f?0??0且f??0?存在 (B)f?0??1且f??0?存在
'(C)f?0??0且f??0?存在 (D)f?0??1且f??0?存在
''
1
(9) 若级数
?an?1??n收敛,则级数 ( )
(A)
?an收敛 (B)
n?1????1?n?1??nan收敛
(C)
?anan?1收敛 (D)
n?1an?an?1收敛 ?2n?1(10) 设非齐次线性微分方程y??P(x)y?Q(x)有两个的解y1?x?,y2?x?,C为任意常数,则该方程通解是( )
(A)C??y1?x??y2?x??? (B)y1?x??C??y1?x??y2?x??? (C)C??y1?x??y2?x??? (D)y1?x??C??y1?x??y2?x???
(11) 设f?x,y?与??x,y?均为可微函数,且??y?x,y??0,已知?x0,y0?是f?x,y?在约束条件??x,y??0下的一个极值点,下列选项正确的是 ( )
(A) 若fx??x0,y0??0,则fy??x0,y0??0 (B) 若fx??x0,y0??0,则fy??x0,y0??0 (C) 若fx??x0,y0??0,则fy??x0,y0??0 (D) 若fx??x0,y0??0,则fy??x0,y0??0
(12) 设?1,?2,?,?s均为n维列向量，A是m?n矩阵，下列选项正确的是( )
(A)若?1,?2,?,?s线性相关，则A?1,A?2,?,A?s线性相关. (B)若?1,?2,?,?s线性相关，则A?1,A?2,?,A?s线性无关. (C)若?1,?2,?,?s线性无关，则A?1,A?2,?,A?s线性相关. (D)若?1,?2,?,?s线性无关，A?1,A?2,?,A?s线性无关.
(13) 设A为3阶矩阵,将A的第2行加到第1行得B,再将B第一列的 -1倍加到第2列得C,
?110???记P??010?，则( )
?001???(A) C?PAP (B) C?PAP (C) C?PAP (D) C?PAP
2
?1?1TT
22(14) 设随机变量X服从正态分布N?1,?1,随机变量Y服从正态分布N?2,?2,且
????P?X??1?1??P?Y??2?1?,则必有 ( )
(A)?1??2 (B)
?1??2 (C) ?1??2 (D) ?1??2
三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分7分)
设f?x,y??yy?,x?0,y?0, 求 1?xyarctanxx?01?ysin?xg?x?. (I) g?x??limf?x,y?; (II) lim?y???
(16)(本题满分7分)
计算二重积分
??Dy2?xydxdy,其中D是由直线y?x,y?1,x?0,所围成的平面区域.
(17)(本题满分10分)
证明:当0?a?b??时,bsinb?2cosb??b?asina?2cosa??a.
(18)(本题满分8分)
在XOY坐标平面上,连续曲线L过点M?1,0?,其上任意点P?x,y??x?0?处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax(常数a>0)
(I) 求L的方程;
(II) 当L与直线y?ax所围成平面图形的面积为
(19)(本题满分10分)
8时,确定a的值. 3??1?x2n?1求幂级数?的收敛域及和函数s(x).
n2n?1??n?1?n?1
(20)(本题满分13分)
设4维向量组 ?1??1?a,1,1,1?,?2??2,2?a,2,2?,?3??3,3,3?a,3?,
TTT?4??4,4,4,4?a?问a为何值时?1,?2,?3,?4线性相关?当?1,?2,?3,?4线性相关时,求
3
T
其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.
(21)(本题满分13分)
设3 阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量?1???1,2,?1?,?2??0,?1,1?是线性方程组Ax?0的两个解.
(I) 求A的特征值与特征向量
(II) 求正交矩阵Q和对角矩阵?,使得QTAQ?A; (III) 求A及(A?
(22)(本题满分13分)
TT36E),其中E为3阶单位矩阵. 2?1?2,?1?x?0??12设随机变量X的概率密度为fX?x???,0?x?2,令Y?X,F?x,y?为二维随机
?4?0,其它??变量?X,Y?的分布函数,
求: (I) Y的概率密度fY?y?;
(II) cov?X,Y?; (III) F???1?,4?. ?2?
(23)(本题满分13分)
0?x?1??,?设总体X的概率密度为f?x,????1??,1?x?2,其中?是未知参数
?0,其它??0???1?,X1,X2,......Xn为来自总体X的简单随机样本,记N为样本值x1,x2,......xn中小
于1的个数,
求: (I) ?的矩估计; (II) ?的最大似然估计.
2006年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
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一、填空题 (1)【答案】1
【详解】题目考察数列的极限，由于数列中有(?1)，故求此数列的极限，分为奇数列和偶数列两个部分进行。
记un?(nn?1(?1)n)，则 n2n?1(?1)2n2n?1limu?lim()?lim()?12n2n2nn??n??n??2n(?1)2n?12n?1limu?lim()?lim()?1 n??2n?1n??2n?1n??2n
1所以 limun?.
n??
(2)【答案】2e
【详解】题目考察抽象函数在某点处的高阶导数。 利用题目已知的函数关系式进行求导便
可得出。
由
3f?(x)?ef(x)，有f??(x)?(e2f(x)?e)?f(x))??ef(x)f?(x)?e2f(x)
所以 f??(?x)?(e2f(x)?))(2f(x?2fx()?f?e2x()f3xe2
3f(2)?2e3以x?2代入，得f???(2)?2e.
(3) 【答案】4dx?2dy
【详解】题目求复合函数在某点处的全微分，可有两种方法： 方法1： 由微分形式不变性，有
dz?f?(4x2?y2)d(4x2?y2)?f?(4x2?y2)(8xdx?2ydy)
dz(1,2)?f?(0)(8dx?4dy)?4dx-2dy
方法2： 求偏导数，
?z?z?f?(4x2?y2)?8x, ?f?(4x2?y2)(?2y). ?x?y以x?1,y?2,f?(0)?1?z?zdx?dy便得如上结果. ，代入dz?2?x?y5