3333(A?E)6?(Q?QT?E)6?(Q(??E)QT)6?Q(??E)6QT2222????0??????????????????Q??0????????3??????????????????()6QEQT2
2(22)【详解】fY(y)?FY?(y), 由于fX(x)是分段函数，所以在计算PX?y时，要相应
???3????2???3??Q?1?Q????2??3???????2???33?()6QQT?()6E22?3?2???????3??????6?32????QT. ?3???2?6??分段讨论. 求F(?111,4)?P(X??,Y?4)?P(X??,X2?4),只是与X有关，不必222先求出F(x,y)的函数.
2(I) 因为FY(y)?P?Y?y??PX?y，当y?0时，FY(y)?0;
??当0?y?1时，FY(y)?P(?y?X?当1?y?4时，FY(y)?P(?y?X?当y?4时，FY(y)?1; 综上所述，有
y113y)??dx??dx?y；
?y204401y111y)??dx??dx??y；
?12042400, y?0??3?y, 0?y?1? FY(y)?P?Y?y??P?X2?y???4?1?1y,1?y?4?24?1, 4?y?由概率密度是分布函数在对应区间上的的微分，所以，
?3?8y,??1fY(y)?FY?(y)??,?8y?0,??0?y?11?y?4 其他这个解法是从分布函数的最基本的概率定义入手，对y进行适当的讨论即可，属于基本题型.
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(Ⅱ) 由协方差的计算公式cov(X,Y)?cov(X,X2)?E(X3)?E(X)?E(X2) 需要计算E(X），E(X2)，E(X3).
E（X）??2????xfX(x)dx??22xx1dx??dx?； -120440E（X）??E（X）??3??-?22xx25xfX(x)dx??dx??dx?；
-12046032xx37xfX(x)dx??dx??dx?.
-1204830??-??故cov(X,Y)?cov(X,X)?E(X）?E(X）(X）2327152???. 8463(III) 根据二维随机变量的定义F(a,b)?P?X?a,Y?b?，有
1111????F(?,4)?P(X??,Y?4)?P?X??,X2?4??P??2?X???
2222????由一维概率计算公式P?a?X?b??
?3N(23)【答案】?的矩估计???X；?的最大似然估计??.
n2?ba1?111fX(x)dx有，F(?,4)??2dx?.
?1224?【详解】矩估计的实质在于用样本矩来估计相应的总体矩，此题中被估参数只有一个，故只
需要用样本一阶原点矩(样本均值)来估计总体的一阶原点矩(期望)，所以矩估计的关键在于找出总体的矩E(X).
最大似然估计，实质上就是找出使似然函数最大的那个参数，问题的关键在于构造似然函数. 样本值中xi小于1的概率是?，xi大于1的概率是?1???. 因此，似然函数应为：
L(?)??f?xi;????N(1??)n?N.
i?1n(I) 由数学期望的定义：
E(X)??????12133xf(x;?)dx???xdx??(1-?)xdx???(1??)???
012221n样本均值 X??Xi
ni?1用样本均值估计期望有 EX?X 即
33???X，解得???X. 22 17
31n所以参数?的矩估计为???X. 其中X??Xi.
2ni?1?(Ⅱ) 对样本x1,x2,?xn按照?1或者?1进行分类，不妨设：xp1,xp2,?xpN?1，
xpN?1,xpN?2,?xpn?1. 似然函数
??N(1??)n?N，xp1,xp2,?xpN?1,xpN?1,xpN?2,?xpn?1L(?)??，
其他?0,在xp1,xp2,?xpN?1，xpN?1,xpN?2,?xpn?1时，等式两边同取自然对数得
lnL(?)?Nln??(n?N)ln(1??)，
由于lnL(?)和L(?)在?的同一点取得最大值，所以令
dlnL(?)Nn?N???0，
d??1???NN解得??，所以?的最大似然估计值为??.
nn
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