1?1?2?x2?x?2??2?x21?x?lim??lim???
x?0x?02x2(1?x2)
(16)【详解】题目考察二重积分的计算，画出积分区域，化为累次积分即可以很容易求出。计算步骤如下：
积分区域D如下图所示. D?{(x,y)0?y?1,0?x?y} ，
故
??Dy?xydxdy??dy?021y03y21221y?xydx???y(y?x)2dy??y2dy?.
3090302(17)【详解】令f(x)?xsinx?2cosx??x，只需证明0?x??时,f(x)单调增加(严格)
f?(x)?sinx?xcosx?2sinx???xcosx?sinx??
f??(x)?cosx?xsinx?cosx??xsinx?0
?f?(x) 单调减少(严格)，
又f?(?)??cos????0，故0?x??时f?(x)?0，则f(x)单调增加(严格)
由b?a有f(b)?f(a)
得证
(18)【详解】(I) 设所求的曲线方程为y?y(x)，按题意，在其上任意一点P(x,y)处的切线斜率y?与OP的斜率
yy的差等于ax(a?0,x?0)，即有y???ax, 并且有初始条件xxy(1)?0. 解之，按一阶线性微分方程解的公式，有
11
dx??dx?xy?e[?axexdx?C]?elnx[?axe?lnxdx?C]?x[?adx?C]?x(ax?C)
111?xdx不写成lnx而可以写成lnx的原因是，题中有初始条件y(1)?0，x取在1处而微分方程的解应是连续的，题设x?0，故其解只能取在包含x?1而不跨过x?0区间，
(以上
故x?0,因此lnx可以写成lnx).
再由y(1)?0定出C??a，于是所求的曲线方程为 y?ax(x?1),a?0. (II) 直线y?ax与曲线y?ax(x?1)的交点(0,0)与(2,2a). 所以直线y?ax与曲线
y?ax(x?1)所围平面图形的面积为
S(a)??[ax?ax(x?1)]dx??[2ax?ax2]dx?00224a 3按题意，
48a?，故a?2. 33
(19)【详解】
nx2n?3(-1）un?12(n?1)(2n?1)(-）1n-1xn2?1??xlimlim记 un?， 有 n-1x2n?1n??unn??(-1）n(2n-1)n(2n-1)所以，当x?1即x?1时，原级数绝对收敛；
当x?1，即x?1时，原级数通项不趋于0，级数发散，
n-1??(-1）所以，收敛半径R?1. 在x??1处un?，级数?un绝对收敛，故收敛域为[?1,1].
n(2n-1)n?122求和函数，应在收敛区间内进行，即x?[?1,1]，
n-1x2n?(-1）n-12?1?(nn2?(-）1xn）-1x-1?x?由 ? 令f(x)??
n(2n-1)n(2n-1)nn(2-1)n?1n?1n?1n-1x2nn-1x2nn-1x2n?1?(-1）?(-1）?2(-1）有 f?(x)?(?n(2n-1))???(n(2n-1))??? 2n-1n?1n?1n?1n-1x2n?1n-1x2n?1?2(-1）?2(-1）?n-1x2n?2f??(x)?(?)???()??2?(-1）
2n-12n-1n?1n?1n?1??n2nn?2?2?(-1）x?2?(?x2）.
1?x2n?0n?0
12
xx再倒回去，有 f?(x)?f?(0)??0f??(t)dt?0??021?t2dt?2arctanx
xf?(t)dt?0?2xarctanxdtf(x)?f(0)??0 ?0xx22?2[arctant|??0dt]?2xarctant?ln(1?x).
01?t2n?1x2n?1?(?1）?2x2arctant?xln(1?x2),?1?x?1. 于是 ?n(2n-1)n?1又因在x??1处级数收敛，右边和函数的表达式在x??1处连续，因此，在x??1处上式
仍成立，即有
???1?n?1x2n?122s(x)???2xarctanx?xln(1?x),?1?x?1
n?2n?1?n?1
(20)【详解】
方法1：记A?[?1,?2,?3,?4]，则
1?a1|A|?1110?a10?a?10?a10?a22?a2222?a223434把所有列都加到第一列
3?a434?a3????434把第一列公因式(10?a)提到行列式前面
3?a434?a341340?(10?a)3?a4034?a02a0030a040?(a?10)a3 0a?(10?a)1212?a1212线性相关的定义：存在一组不等于零的数k1,k2,k3,k4,使得k1?1?k2?2?k3?3?k4?4?0成立，则?1,?2,?3,?4线性相关.
于是当A?0时方程组k1?1?k2?2?k3?3?k4?4?0有非零解，此时满足线性相关的定
3义. 即：(a?10)a?0，解得当a?0或a??10时，?1,?2,?3,?4线性相关.
当a?0时，?1为?1,?2,?3,?4的一个极大线性无关组，且?2?2?1,?3?3?1,?4?4?1.
13
当a??10时, 对A作初等行变换.
??923?1?83A???12?7??123?1???4??4?0?1???3??3?1???2??2?14?4??4??6??2???1????1???9?3???1????1??4???1????1??10?234???1000???100?100???1000?10???2??110??9?3??110?4??110?1???1??1234??100?? 0?10??00?1?000???100??[?1,?2,?3,?4] ???10?10???100?1??可以看出由于?2,?3,?4为?1,?2,?3,?4的一个极大线性无关组，且?1???2??3??4， 故?2,?3,?4为?1,?2,?3,?4的一个极大线性无关组，且?1???2??3??4. 方法2：记A?[?1,?2,?3,?4]，对A施以初等行变换，有
?1?a?1A???1??122?a22200034??2???1????1??1?a?3???1????1??34??4???1????1???a????a3?a4???34?a???a30002a0030a04?0???B 0??a??1?0当a?0时，B???0??04?0??，得r?A??r?B??1，因而?1,?2,?3,?4线性相关,0??0?此时?1为?1,?2,?3,?4的一个极大线性无关组，且?2?2?1,?3?3?1,?4?4?1.
a?0时，再对B施以初等行变换，有
?2??a1?a?3??a?4??a?1B??1?1210030104?1???4??4a?10000?1???3??30?1???2??21?100??C?[?1,?2,?3,?4]. 010?101100?1如果a??10，C的秩为4，故?1,?2,?3,?4线性无关；如果a??10时，C的秩为3，故
?1,?2,?3,?4线性相关. 由于?2,?3,?4是?1,?2,?3,?4的一个极大线性无关组，且
?1???2??3??4，于是?2,?3,?4是?1,?2,?3,?4的一个极大线性无关组，
?1???2??3??4.
14
(21)【详解】(I) 由题设条件A?1?0?0?1，A?2?0?0?2，故?1,?2是A的对应于??0的特征向量，又因为?1,?2线性无关，故??0至少是A的二重特征值. 又因为A的每行元
T素之和为3，所以有A(1,1,1)?(3,3,T3)?T，由特征值、特征向量的定义，3(1,1,1?0?(1,1,1)T是A的特征向量, 特征值为?3?3，?3只能是单根，k3?0,k3?0是全体特征
向量，从而知??0是二重特征值.
于是A的特征值为3,0,0；属于3的特征向量: k3?3,k3?0；属于0的特征向量:
k1?1?k2?2，k1,k2不都为0.
(Ⅱ) 为了求出可逆矩阵必须对特征向量进行单位正交化 . 先将?0单位化, 得?0?(333T, , ). 333对?1,?2作施密特正交化, 得?1?(0, ?666T22T,?, ). , ),??2?(?36622?3 0 0???T-1作Q?(?1,?2,?3), 则Q是正交矩阵,并且QAQ?QAQ??0 0 0?
?0 0 0???(III)由QAQ??，其中Q?Q
TT?1??1??6?2A?Q?QT???6??1?6???1??6?2?????????????????????6??1?6??12012?120121?21???1??6?3?063????1??1????100????23?2????3???11?1??1?333?3????
1????3??000??111???1???000?111????3????1?111?11???1???33??3??3? 15