(4)【答案】 2
【详解】由已知条件BA?B?2E变形得，BA?2E?B?B(A?E)?2E, 两边取行列式, 得
B(A?E)?2E?4E?4 其中，A?E??11?21??10?2???2， 2E?2E?4 ?????12??01??11因此，B?
(5)【答案】19
2E4??2.
A?E2【详解】根据独立性原理：若事件A1,?,An独立，则
P?A1?A2???An??P?A1?P?A2??P?An?
事件?max{X,Y}?1???X?1,Y?1???X?1???Y?1?，而随机变量X与Y均服从区间[0,3]上的均匀分布，有P?X?1??量X与Y相互独立，所以，
11111dx?PY?1?dy?和?033???033. 又随机变1111P?max(x,y)?1??P?x?1,Y?1??P?x?1??P?Y?1????
339
(6)【答案】2.
【详解】样本方差是总体方差的无偏估计量E(S)?D(X)，故只要计算D(X)即可.
2X概率密度函数f(x)是偶函数，则xf(x)为奇函数，所以E(X)??所以 E(S)?D(X)?E(X)?[E(X)]?E(X)
2222????xf(x)dx?0
??????xf(x)dx?2??02??0xf(x)dx??xedx???x2de?x
00?02?2?x???????x2e?x|0??e?xdx2??x2e?x|0?2?xde?x
??????x2e?x|0?2xe?x|0?2?e?xdx??0?0?2?0?(?1)??2.
0?
二、选择题 (7)【答案】A
6
【详解】
方法1： 图示法.
因为f?(x)?0,则f(x)严格单调增加；因为f??(x)?0, 则f(x)是凹函数，又
?x?0，画f(x)?x2的图形 y
y=f(x) Δy
dy
O x0 x0+Δx x
结合图形分析，就可以明显得出结论：0?dy??y. 方法2：用两次拉格朗日中值定理
?y?dy?f(x0??x)?f(x0)?f?(x0)?x(前两项用拉氏定理)
?(0x?) x?f?(?)?x?f (再用一次拉氏定理)
?f??(?)(??x0)?x, 其中x0???x0??x,x0????
由于f??(x)?0，从而?y?dy?0. 又由于dy?f?(x0)?x?0，故选[A] 方法3： 用拉格朗日余项一阶泰勒公式. 泰勒公式：
(n)??f(x)f(x0)20f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?(x?x0)???(x?x0)n?Rn， 2!n!其中Rn?f(n?1)(x0)(n?1)!(x?x0). 此时n取1代入，可得
1f??(?)(?x)2?0 2n?y?dy?f(x0??x)?f(x0)?f?(x0)?x?又由dy?f?(x0)?x?0，选(A) .
(8) 【答案】C
【详解】题目考察该抽象函数在0点处的函数值，及0点处的左右导数，计算如下： 换元令x?h，由题设可得
2f(h2)f(x)lim2?lim?1 . h?0x?0?hxf(x)?lim于是 lim??f(x)?x?1?0?0
x?0x?0xf(x)?0，进而有 因为函数f(x)在点x?0处连续，故f(0)?lim?x?0 7
f(x)f(x)?f(0)?lim?f??(0) . ?x?0x?0xx?0这表明f(0)?0且f??(0)存在. 故应选(C) .
1?lim?
(9) 【答案】D 【详解】
方法1：数列收敛的性质：收敛数列的四则运算后形成的新数列依然收敛
因为
?an收敛，所以?an?1也收敛，所以?(an?an?1)收敛，从而?n?1n?1n?1??????(?1)n方法2：记 an?，则?an收敛. 但?an??nn?1n?1n?1???1(p级数，p?1级数发散)均发散。由排除法可知，应选D. aa???nn?1nn?1n?1n?1an?an?1也收敛.选D. 2n?111，(p级数，p?级数发散)；
2n?
(10) 【答案】B
【详解】线性方程解的性质与结构：1. 由非齐次线性微分方程的两个特解，求该方程的通解；2. 线性非齐次微分方程的两个解的差是对应的齐次微分方程的解.
因为y1(x)?y2(x)，所以(y1(x)?y2(x))是齐次微分方程的一个非零解，C是任意常数，所以C(y1(x)?y2(x))是对应的齐次微分方程的通解. 再加上原非齐次方程的一个特解，便得原非齐次方程的通解，[B].
(11) 【答案】D 【详解】
方法1： 化条件极值问题为一元函数极值问题。
已知?(x0,y0)?0，由?(x,y)?0，在（x0,y0)邻域，可确定隐函数y?y(x)，
满足y(x0)?y0，
dydx?????x???y。
)（x0,y0)是f(x,y)在条件?(x,y?z?f(x,y(x))的极值点。它的必要条件是
dzdxx?x00的一个极值点?x?x0是 下
?x?(x0,y0)??(x0,y0)y??f(x0,y0)?x??f(x0,y0)dy?ydxx?x0?fx?(x0,y0)?fy?(x0,y0)?0
x?x0?(x0,y0)?0，因此不选(A)，(B). 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0，或?x若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0(否则
dzdxx?x0?0). 因此选(D)
方法2：用拉格朗日乘子法. 引入函数F(x,y,?)?f(x,y)???(x,y)，有
8
?(x,y)?0(1)?Fx??fx?(x,y)???x?(2) ?Fy??fy?(x,y)????y(x,y)?0?F????(x,y)?0??因为??y(x0,y0)?0，所以???fy?(x0,y0)，代入(1)得
??(x,y)y00fx?(x0,y0)???(x0,y0)fy?(x0,y0)?x
??y(x0,y0)若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0，选(D)
(12)【答案】A 【详解】
方法1：若?1,?2,?,?s线性相关, 则由线性相关定义存在不全为0的数k1,k2,?,ks使得
k1?1?k2?2???ks?s?0
为了得到A?1,A?2,?,A?s的形式，用A左乘等式两边, 得
k1A?1?k2A?2???ksA?s?0 ①
于是存在不全为0的数k1,k2,?,ks使得①成立，所以A?1,A?2,?,A?s线性相关. 方法2：如果用秩来解,则更加简单明了. 只要熟悉两个基本性质, 它们是:
1.
?1,?2,?,?s线性相关?r(?1,?2,?,?s)?s；2. r(AB)?r(B).
矩阵(A?1,A?2,?,A?s)?A(?1,?2,?,?s), 设B?(?1,?2,?,?s)， 则由
r(AB)?r(B)得r(A?1,A?2,?,A?s)?r(?1,?2,?,?s)?s. 所以答案应该为(A).
(13) 【答案】B
【详解】用初等矩阵在乘法中的作用(矩阵左乘或右乘初等矩阵相当于对矩阵进行初等行变换或列变换)得出
?1?将A的第2行加到第1行得B，即 B??0?0?1100??0?A 记 PA ?1??1?10???将B的第1列的-1倍加到第2列得C，即C?B?010? 记 BQ
?001???
9
?110??1?10??????1因为PQ??010??010??E，故Q?P?1E?P.
?001??001?????从而C?BQ?BP?1?PAP?1 ,故选(B).
(14) 【答案】A.
【详解】由于X与Y的分布不同，不能直接判断P{|X??1|?1}和P{|Y??2|?1}的大小与参数关系. 如果将其标准化后就可以方便地进行比较了。
随机变量标准化，有
X??1?1~N(0,1)，且其概率密度函数是偶函数. 所以
P(X??1?1)?P(?X??11?11X??11???2[?()??(0)]?2?()?1. ?)?2P?0??1?1??1?1?1?1?同理有，P(Y??2?1)?2?(1?2)?1
因为?(x)是单调递增函数，当P{|X??1|?1}?P{|Y??2|?1}时，
2?(1?1)?1?2?(1?2)?1，即
1?1?1?2，所以?1??2，故选(A).
三、解答题
(15)【详解】题目考察二元函数的极限，求g(x)时，可以将y视为常数
(I) g(x)?limf(x,y)?lim[?y???y???1?xyy1?ysin?xy],
arctanx由于x?0，所以 limysiny????xy?limy?y????xy??x,limy11?lim?,
y???1?xyy???1?xxy所以g(x)?11??x?. xarctanx11??xarctanx?x??x2arctanx?x??x2g(x)?lim(?)?lim?lim(II) lim 2??x?0?x?0?xx?0x?0arctanxxarctanxx 10