离散数学课后习题答案 (左孝凌版)
1-1，1-2 （1） 解：
a) 是命题，真值为T。 b) 不是命题。
c) 是命题，真值要根据具体情况确定。 d) 不是命题。 e) 是命题，真值为T。 f) 是命题，真值为T。 g) 是命题，真值为F。 h) 不是命题。 i)
不是命题。
（2） 解：
原子命题：我爱北京天安门。
复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。 （3） 解：
a) (┓P ∧R)→Q b) Q→R c) ┓P d)
P→┓Q
（4） 解：
a)设Q:我将去参加舞会。R:我有时间。P:天下雨。
Q? (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。 b)设R:我在看电视。Q:我在吃苹果。 R∧Q:我在看电视边吃苹果。
c) 设Q:一个数是奇数。R:一个数不能被2除。
（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。 (5) 解：
a) 设P：王强身体很好。Q：王强成绩很好。P∧Q b) 设P：小李看书。Q：小李听音乐。P∧Q c) 设P：气候很好。Q：气候很热。P∨Q d) 设P： a和b是偶数。Q：a+b是偶数。P→Q
e) 设P：四边形ABCD是平行四边形。Q ：四边形ABCD的对边平行。P?Q f) 设P：语法错误。Q：程序错误。R：停机。（P∨ Q）→ R
(6) 解：
a) P:天气炎热。Q:正在下雨。 P∧Q b) P:天气炎热。R:湿度较低。 P∧R c) R:天正在下雨。S:湿度很高。 R∨S d) A:刘英上山。B:李进上山。 A∧B e) M:老王是革新者。N:小李是革新者。 M∨N f) L:你看电影。M:我看电影。 ┓L→┓M
g)
P:我不看电视。Q:我不外出。 R:我在睡觉。 P∧Q∧R
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1
h) 1-3
P:控制台打字机作输入设备。Q:控制台打字机作输出设备。P∧Q
（1）解：
a) b) c) d) e)
不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式） 是合式公式
不是合式公式（括弧不配对）
不是合式公式（R和S之间缺少联结词） 是合式公式。
（2）解：
a） A是合式公式，(A∨B)是合式公式，(A→(A∨B)) 是合式公式。这个过程可以简记为： A；(A∨B)；(A→(A∨B)) 同理可记
b） A；┓A ；(┓A∧B) ；((┓A∧B)∧A)
c） A；┓A ；B；(┓A→B) ；(B→A) ；((┓A→B)→(B→A)) d） A；B；(A→B) ；(B→A) ；((A→B)∨(B→A)) （3）解：
a） ((((A→C)→((B∧C)→A))→((B∧C)→A))→(A→C)) b） ((B→A)∨(A→B))。 （4）解：
a) 是由c) 式进行代换得到，在c) 中用Q代换P, (P→P)代换Q.
d) 是由a) 式进行代换得到，在a) 中用 P→(Q→P)代换Q.
e) 是由b) 式进行代换得到，用R代换P, S代换Q, Q代换R, P代换S. （5）解：
a) P: 你没有给我写信。 R: 信在途中丢失了。 P Q b) P: 张三不去。Q: 李四不去。R: 他就去。 (P∧Q)→R c) P: 我们能划船。 Q: 我们能跑步。 ┓(P∧Q) d) P: 你来了。Q: 他唱歌。R: 你伴奏。 P→(Q?R) （6）解：
P:它占据空间。 Q:它有质量。 R:它不断变化。 S:它是物质。 这个人起初主张：(P∧Q∧R) ? S 后来主张：(P∧Q?S)∧(S→R)
这个人开头主张与后来主张的不同点在于：后来认为有P∧Q必同时有R，开头时没有这样的主张。 （7）解：
a) P: 上午下雨。 Q:我去看电影。 R:我在家里读书。 S:我在家里看报。(┓P→Q)∧(P→(R∨S)) b) P: 我今天进城。Q:天下雨。┓Q→P c) P: 你走了。 Q:我留下。Q→P 1-4 （4）解：a)
P Q R Q∧R P∧(Q∧R) P∧Q (P∧Q)∧R ∨
dintin@gmail.com 2
T T T T T F T F T T F F F T T F T F F F T F F F T F F F T F F F T F F F F F F F T T F F F F F F T F F F F F F F 所以，P∧(Q∧R) ? (P∧Q)∧R b)
Q∨R Ｔ Ｔ Ｔ Ｆ Ｔ Ｔ Ｔ Ｆ P∨(Q∨R) Ｔ Ｔ Ｔ Ｔ Ｔ Ｔ Ｔ Ｆ P∨Q Ｔ Ｔ Ｔ Ｔ Ｔ Ｔ Ｆ Ｆ (P∨Q)∨R Ｔ Ｔ Ｔ Ｔ Ｔ Ｔ Ｔ Ｆ P Q R T T T T T F T F T T F F F T T F T F F F T F F F 所以，P∨(Q∨R) ? (P∨Q)∨R ｃ）
Ｐ Ｑ Ｒ Ｑ∨Ｒ Ｐ∧（Ｑ∨Ｒ） Ｐ∧Ｑ Ｐ∧Ｒ （Ｐ∧Ｑ）∨（Ｐ∧Ｒ） Ｔ Ｔ Ｔ Ｔ Ｔ Ｔ Ｆ Ｔ Ｔ Ｆ Ｔ Ｔ Ｔ Ｆ Ｆ Ｆ Ｆ Ｔ Ｔ Ｔ Ｆ Ｔ Ｆ Ｔ Ｆ Ｆ Ｔ Ｔ Ｆ Ｆ Ｆ Ｆ Ｔ Ｔ Ｔ Ｆ Ｆ Ｆ Ｆ Ｆ Ｔ Ｔ Ｆ Ｆ Ｆ Ｆ Ｆ Ｆ Ｔ Ｆ Ｔ Ｆ Ｆ Ｆ Ｆ Ｆ Ｔ Ｔ Ｔ Ｆ Ｆ Ｆ Ｆ Ｆ 所以，P∧(Q∨R) ? (P∧Q)∨(P∧R) ｄ） P Q T T T F F T F F ┓P F F T T ┓Q F T F T ┓P∨┓Q F T T T ┓(P∧Q) F T T T ┓P∧┓Q F F F T ┓(P∨Q) F F F T 所以，┓(P∧Q) ?┓P∨┓Q, ┓(P∨Q) ?┓P∧┓Q
（5）解：如表，对问好所填的地方，可得公式F1～F6，可表达为
Q dintin@gmail.com
R F1 F2 F3 F4 F5 F6 3
P T T F F T T F F T F T F T F T F T F T F T T T F F F F T F F F T T T F F F F T F T F T T T F T T F F T T T T T T F F F F F F F T T T T T F F F F F1:(Q→P)→R
F2:(P∧┓Q∧┓R)∨(┓P∧┓Q∧┓R) F3:(P←→Q)∧(Q∨R)
F4:(┓P∨┓Q∨R)∧(P∨┓Q∨R) F5:(┓P∨┓Q∨R)∧(┓P∨┓Q∨┓R) F6:┓(P∨Q∨R)
(6) Q F T F T 1 2 F F F F T F F F 3 F T F F 4 T T F F 5 F F T F 6 T F T F 7 F T T F 8 T T T F 9 F F F T 10 T F F T 11 F T F T 12 T T F T 13 F F T T 14 T F T T 15 F T T T 16 T T T T 解：由上表可得有关公式为
1.F 2.┓(P∨Q) 3.┓(Q→P) 4.┓P
5.┓(P→Q) 6.┓Q 7.┓(P?Q) 8.┓(P∧Q) 9.P∧Q 10.P?Q 11.Q 12.P→Q 13.P 14.Q→P 15.P∨Q 16.T (7) 证明：
a) A→(B→A)? ┐A∨(┐B∨A)
? A∨(┐A∨┐B) ? A∨(A→┐B) ?┐A→(A→┐B)
b) ┐(A?B) ?┐((A∧B)∨(┐A∧┐B))
?┐((A∧B)∨┐(A∨B)) ?(A∨B)∧┐(A∧B)
或 ┐(A?B) ?┐((A→B)∧(B→A))
?┐((┐A∨B)∧(┐B∨A))
?┐((┐A∧┐B)∨(┐A∧A)∨(B∧┐B)∨(B∧A)) ?┐((┐A∧┐B)∨(B∧A)) ?┐(┐(A∨B))∨(A∧B) ?(A∨B)∧┐(A∧B)
c) ┐(A→B) ? ┐(┐A∨B) ?A∧┐B d) ┐(A?B)?┐((A→B)∧(B→A))
?┐((┐A∨B)∧(┐B∨A)) ?(A∧┐B)∨(┐A∧B)
e) (((A∧B∧C)→D)∧(C→(A∨B∨D)))
?(┐(A∧B∧C)∨D)∧(┐C∨(A∨B∨D)) ?(┐(A∧B∧C)∨D)∧(┐(┐A∧┐B∧C)∨D) dintin@gmail.com
4
? (┐(A∧B∧C)∧┐(┐A∧┐B∧C))∨D ?((A∧B∧C)∨(┐A∧┐B∧C))→D ? (((A∧B)∨(┐A∧┐B))∧C)→D ? ((C∧(A?B))→D) f) A→(B∨C) ? ┐A∨(B∨C)
? (┐A∨B)∨C ?┐(A∧┐B)∨C ? (A∧┐B)→C
g) (A→D)∧(B→D)?(┐A∨D)∧(┐B∨D)
?(┐A∧┐B)∨D ? ┐(A∨B)∨D ? (A∨B)→D
h) ((A∧B)→C)∧(B→(D∨C))
?(┐(A∧B)∨C)∧(┐B∨(D∨C)) ? (┐(A∧B)∧(┐B∨D))∨C ?(┐(A∧B) ∧┐(┐D∧B))∨C ?┐((A∧B)∨(┐D∧B))∨C ? ((A∨┐D)∧B)→C ? (B∧(D→A))→C （8）解：
a) ((A→B) ? (┐B→┐A))∧C
? ((┐A∨B) ? (B∨┐A))∧C ? ((┐A∨B) ? (┐A∨B))∧C ?T∧C ?C
b) A∨(┐A∨(B∧┐B)) ? (A∨┐A)∨(B∧┐B) ?T∨F ?T c) (A∧B∧C)∨(┐A∧B∧C)
? (A∨┐A) ∧(B∧C) ?T∧(B∧C) ?B∧C
（9）解：1）设C为T，A为T，B为F，则满足A∨C?B∨C，但A?B不成立。 2）设C为F，A为T，B为F，则满足A∧C?B∧C，但A?B不成立。 3）由题意知┐A和┐B的真值相同，所以A和B的真值也相同。 习题 1-5 （1） 证明：
a) (P∧(P→Q))→Q
? (P∧(┐P∨Q))→Q ?(P∧┐P)∨(P∧Q)→Q ?(P∧Q)→Q ?┐(P∧Q)∨Q ?┐P∨┐Q∨Q ?┐P∨T ?T b) ┐P→(P→Q)
?P∨(┐P∨Q) ? (P∨┐P)∨Q ?T∨Q
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5