?T
c) ((P→Q)∧(Q→R))→(P→R)
因为(P→Q)∧(Q→R)?(P→R) 所以 (P→Q)∧(Q→R)为重言式。
d) ((a∧b)∨(b∧c) ∨(c∧a))?(a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a)
因为((a∧b)∨(b∧c)∨(c∧a)) ?((a∨c)∧b)∨(c∧a)
?((a∨c)∨(c∧a))∧(b∨(c∧a)) ?(a∨c)∧(b∨c)∧(b∨a)
所以((a∧b)∨(b∧c) ∨(c∧a))?(a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a) 为重言式。
（2） 证明：
a)(P→Q)?P→(P∧Q) 解法1： 设P→Q为T
（1）若P为T，则Q为T，所以P∧Q为T，故P→(P∧Q)为T （2）若P为F，则Q为F，所以P∧Q为F，P→(P∧Q)为T 命题得证 解法2：
设P→(P∧Q)为F ，则P为T，(P∧Q)为F ，故必有P为T，Q为F ，所以P→Q为F。解法3：
(P→Q) →(P→(P∧Q)) ?┐(┐P∨Q)∨(┐P∨(P∧Q)) ?┐(┐P∨Q)∨((┐P∨P)∧(┐P∨Q)) ?T
所以(P→Q)?P→(P∧Q) b)(P→Q)→Q?P∨Q
设P∨Q为F，则P为F，且Q为F， 故P→Q为T，(P→Q)→Q为F， 所以(P→Q)→Q?P∨Q。
c)(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))?R→Q 设R→Q为F，则R为T，且Q为F，又P∧┐P为F 所以Q→(P∧┐P)为T，R→(P∧┐P)为F
所以R→(R→(P∧┐P))为F，所以(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))为F 即(Q→(P∧┐P))→(R→(R→(P∧┐P)))?R→Q成立。
（3） 解：
a) P→Q表示命题“如果8是偶数，那么糖果是甜的”。
b) a)的逆换式Q→P表示命题“如果糖果是甜的，那么8是偶数”。 c) a)的反换式┐P→┐Q表示命题“如果8不是偶数，那么糖果不是甜的”。 d) a)的逆反式┐Q→┐P表示命题“如果糖果不是甜的，那么8不是偶数”。 （4） 解：
a) 如果天下雨，我不去。 设P：天下雨。Q：我不去。P→Q
逆换式Q→P表示命题:如果我不去，则天下雨。 逆反式┐Q→┐P表示命题:如果我去，则天不下雨 b) 仅当你走我将留下。
设S：你走了。R：我将留下。R→S dintin@gmail.com
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逆换式S→R表示命题：如果你走了则我将留下。 逆反式┐S→┐R表示命题：如果你不走，则我不留下。 c) 如果我不能获得更多帮助，我不能完成个任务。 设E：我不能获得更多帮助。H：我不能完成这个任务。E→H
逆换式H→E表示命题：我不能完成这个任务，则我不能获得更多帮助。 逆反式┐H→┐E表示命题：我完成这个任务，则我能获得更多帮助 （5） 试证明P?Q，Q逻辑蕴含P。 证明：解法1：
本题要求证明(P?Q) ∧Q?P,
设(P?Q) ∧Q为T，则(P?Q)为T，Q为T，故由?的定义，必有P为T。 所以(P?Q) ∧Q?P 解法2：
由体题可知，即证((P?Q)∧Q)→P是永真式。
((P?Q)∧Q)→P
? (((P∧Q) ∨(┐P∧┐Q)) ∧Q)→P ? (┐((P∧Q) ∨(┐P∧┐Q)) ∨┐Q) ∨P ? (((┐P∨┐Q) ∧(P∨Q)) ∨┐Q) ∨P ? ((┐Q∨┐P∨┐Q) ∧(┐Q∨P∨Q)) ∨P ? ((┐Q∨┐P) ∧T) ∨P ?┐Q∨┐P∨P ?┐Q∨T ?T （6） 解：
P：我学习 Q：我数学不及格 R：我热衷于玩扑克。 如果我学习，那么我数学不会不及格： P→┐Q 如果我不热衷于玩扑克，那么我将学习: ┐R→P 但我数学不及格: Q 因此我热衷于玩扑克。 R 即本题符号化为：(P→┐Q)∧(┐R→P)∧Q?R 证：
证法1：((P→┐Q)∧(┐R→P)∧Q)→R ? ┐((┐P∨┐Q)∧(R∨P)∧Q) ∨R ? (P∧Q)∨(┐R∧┐P)∨┐Q∨R
? ((┐Q∨P)∧(┐Q∨Q))∨((R∨┐R)∧(R∨┐P)) ? ┐Q∨P∨R∨┐P ? T
所以，论证有效。
证法2：设(P→┐Q)∧(┐R→P)∧Q为T， 则因Q为T，(P→┐Q) 为T，可得P为F， 由(┐R→P)为T，得到R为T。 故本题论证有效。 （7） 解：
P：6是偶数 Q：7被2除尽 R：5是素数 如果6是偶数，则7被2除不尽 P→┐Q 或5不是素数，或7被2除尽 ┐R∨Q 5是素数 R dintin@gmail.com
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所以6是奇数 ┐P
即本题符号化为：（P→┐Q）∧（┐R∨Q）∧R ?┐P 证：
证法1：((P→┐Q)∧(┐R∨Q)∧R)→┐P ? ┐((┐P∨┐Q) ∧(┐R∨Q) ∧R) ∨┐P ? ((P∧Q) ∨(R∧┐Q) ∨┐R) ∨┐P
? ((┐P∨P) ∧(┐P∨Q)) ∨((┐R∨R) ∧(┐R∨┐Q)) ? (┐P∨Q) ∨(┐R∨┐Q) ?T
所以，论证有效，但实际上他不符合实际意义。 证法2：(P→┐Q)∧(┐R∨Q)∧R为T， 则有R为T，且┐R∨Q 为T，故Q为T， 再由P→┐Q为T，得到┐P为T。 （8） 证明：
a) P?(┐P→Q)
设P为T，则┐P为F，故┐P→Q为T b) ┐A∧B∧C?C
假定┐A∧B∧C为T，则C为T。 c) C?A∨B∨┐B
因为A∨B∨┐B为永真，所以C?A∨B∨┐B成立。 d) ┐(A∧B) ?┐A∨┐B 设┐(A∧B)为T，则A∧B为F。
若A为T，B为F，则┐A为F，┐B为T，故┐A∨┐B为T。 若A为F，B为T，则┐A为T，┐B为F，故┐A∨┐B为T。 若A为F，B为F，则┐A为T，┐B为T，故┐A∨┐B为T。 命题得证。
e) ┐A→(B∨C)，D∨E，(D∨E)→┐A?B∨C 设┐A→(B∨C)，D∨E，(D∨E)→┐A为T， 则D∨E为T，(D∨E)→┐A为T，所以┐A为T 又┐A→(B∨C)为T，所以B∨C为T。命题得证。 f) (A∧B)→C，┐D，┐C∨D?┐A∨┐B
设(A∧B)→C，┐D，┐C∨D为T，则┐D为T，┐C∨D为T，所以C为F 又(A∧B)→C为T，所以A∧B为F，所以┐A∨┐B为T。命题得证。 （9）解：
a) 如果他有勇气，他将得胜。 P：他有勇气 Q：他将得胜
原命题：P→Q 逆反式：┐Q→┐P 表示：如果他失败了，说明他没勇气。b) 仅当他不累他将得胜。 P：他不累 Q：他得胜
原命题：Q→P 逆反式：┐P→┐Q 表示：如果他累，他将失败。 习题 1-6 (1)解：
a) (P∧Q)∧┐P?(P∧┐P)∧Q?┐(T∨Q) b)
(P→(Q∨┐R)) ∧┐P∧Q ? (┐P∨(Q∨┐R))∧┐P∧Q
dintin@gmail.com
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?(┐P∧┓P∧Q)∨(Q∧┓P∧Q)∨(┓R∧┓P∧Q) ?(┓P∧Q)∨(┓P∧Q)∨(┓P∧┓R∧Q) ?┓P∧Q ?┐(P∨┐Q) c)
┐P∧┐Q∧(┐R→P) ?┐P∧┐Q∧(R∨P)
?(┐P∧┐Q∧R)∨(┐P∧┐Q∧P) ?(┐P∧┐Q∧R)∨F ?┐P∧┐Q∧R ?┐(P∨Q∨┐R)
(2) 解：
a)┐P? P↓P
b)P∨Q?┐(P↓Q) ? (P↓Q)↓(P↓Q) c)P∧Q?┐P↓┐Q? (P↓P)↓(Q↓Q) (3)解：
P→(┐P→Q) ?┐P∨(P∨Q) ?T ?┐P∨P
? (┐P↑┐P)↑(P↑P) ?P↑(P↑P)
P→(┐P→Q) ?┐P∨(P∨Q) ?T ?┐P∨P ?┐(┐P↓P) ?┐((P↓P)↓P)
?((P↓P)↓P)↓((P↓P)↓P)
(4)解：
P↑Q
?┐(┐P↓┐Q) ?┐((P↓P)↓(Q↓Q))
? ((P↓P)↓(Q↓Q))↓((P↓P)↓(Q↓Q))
(5)证明：
┐(B↑C) ?┐(┐B∨┐C) ? ┐B↓┐C ┐(B↓C) ?┐(┐B∧┐C) ?┐B↑┐C
(6)解：联结词“↑”和“↓”不满足结合律。举例如下：
a)给出一组指派：P为T，Q为F，R为F，则(P↑Q)↑R为T，P↑(Q↑R)为F
故 (P↑Q)↑R P? ↑(Q↑R). b)给出一组指派：P为T，Q为F，R为F，则(P↓Q) ↓R为T，P↓(Q↓R)为F
故(P↓Q)↓R P? ↓(Q↓R). dintin@gmail.com
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(7)证明：
设变元P，Q，用连结词?,┐作用于P，Q得到：P，Q，┐P，┐Q，P?Q，P?P，Q?Q，Q?P。 但P?Q?Q?P，P?P?Q?Q，故实际有：
P，Q，┐P，┐Q，P?Q，P?P（T） （A） 用┐作用于（A）类，得到扩大的公式类（包括原公式类）：
P，Q，┐P，┐Q，┐（P?Q）， T，F， P?Q （B） 用?作用于（A）类，得到：
P?Q，P?┐P?F，P?┐Q?┐（P?Q），P?（P?Q）?Q，P?（P?P）?P， Q?┐P?┐（P?Q），Q?┐Q?F，Q?（P?Q）?P，Q?T?Q, ┐P?┐Q?P?Q，┐P?（P?Q）?┐Q，┐P?T?┐P, ┐Q?（P?Q）?┐P，┐Q?T?┐Q, （P?Q）?（P?Q）?P?Q.
因此，（A）类使用运算后，仍在（B）类中。 对（B）类使用┐运算得：
┐P，┐Q，P，Q， P?Q， F，T， ┐（P?Q）， 仍在（B）类中。
对（B）类使用?运算得：
P?Q，P?┐P?F，P?┐Q?┐（P?Q），P?┐（P?Q）?┐Q，P?T?P，P?F?┐P，P?（P?Q）?Q， Q?┐P?┐（P?Q），Q?┐Q?F，Q?┐（P?Q）?┐P，Q?T?Q, Q?F?┐Q， Q?（P?Q）?P， ┐P?┐Q?P?Q，┐P?┐（P?Q）?Q，┐P?T?┐P, ┐P?F?P,┐P?（P?Q）?┐Q， ┐Q?┐（P?Q）?P，┐Q?T?┐Q, ┐Q?T?┐Q,┐Q?（P?Q）?┐P， ┐（P?Q）?T?┐（P?Q），┐（P?Q）?F?P?Q，┐（P?Q）?（P?Q）?F T?F?F，T?（P?Q）? P?Q F?（P?Q）? ┐（P?Q） （P?Q）?（P?Q）?P?Q.
故由（B）类使用?运算后，结果仍在（B）中。
由上证明：用?,┐两个连结词，反复作用在两个变元的公式中，结果只能产生（B）类中的公式，总共仅八个不同的公式，故{?,┐}不是功能完备的，更不能是最小联结词组。 已证{?,┐}不是最小联结词组，又因为P Q，故任何命题公式中的联结词，如仅用{ , ┐}表达，则必可用{?,∨ ? ┐（P?Q）┐}表达，其逆亦真。故{ , ┐}也必不是最小联结词组。 ∨ (8)证明{∨}，{∧}和{→}不是最小联结词组。 证明：若{∨}，{∧}和{→}是最小联结词，则 ┐P?（P∨P∨??） ┐P?（P∧P∧??） ┐P?P→(P→(P→??)
对所有命题变元指派T，则等价式左边为F，右边为T，与等价表达式矛盾。 所以{∨}，{∧}和{→}不是最小联结词。
∨ c (9)证明{┐,→}和{┐, }→ 是最小联结词组。
证明：因为{┐,∨}为最小联结词组，且P∨Q?┐P→Q
所以{┐,→}是功能完备的联结词组，又{┐},{→}都不是功能完备的联结词组。 所以{┐,→}是最小联结词组。
c c c 不是功能完备的联结词组， 又因为P→Q?┐(P Q)→ ，所以{┐, }→ 是功能完备的联结词组，又{┐},{ }
→
所以{┐, }是最小联结词组。
c
→
习题 1-7
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