3-5.1 列出所有从X={a,b,c}到Y={s}的关系。 解：Z1={} Z2={
解：L={<1,2>,<1,3>,<1,6>,<2,3>,<2,6>, <3,6>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<6,6>} D={<1,2>,<1,3>,<1,6>,<2,6>,<3,6>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<6,6>} L∩D= {<1,2>,<1,3>,<1,6>,<2,6>,<3,6>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<6,6>} 3-5.5对下列每一式，给出A上的二元关系，试给出关系图： a){
3-6.1 分析集合A={1，2，3}上的下述五个关系： （1）R={＜1，1＞，＜1，2＞，＜1，3＞，＜3，3＞}； （2）S={＜1，1＞，＜1，2＞，＜2，1＞，＜2，2＞，＜3，3＞}； （3）T={＜1，1＞，＜1，2＞，＜2，2＞，＜2，3＞}； （4）?=空关系； （5）A×A=全域关系。 判断A中的上述关系是否为a）自反的，b）对称的，c）可传递的，d）反对称的。 解（1）R是可传递和反对称的。 （2）S是自反，对称和可传递的。 （3）T是反对称的。 （4）空关系是对称，可传递和反对称的。 （5）全域关系是自反，对称和可传递的。 3-6.2给定A={1，2，3,4}，考虑a上的关系R,若R={＜1，3＞，＜1，4＞，＜2，3＞，＜2，4＞，＜3，4＞} a) 在A?A的坐标图上标出R，并绘出它的关系图； b) R是ⅰ)自反的ⅱ）对称的ⅲ)可传递的，iv) 反对称的吗？ 解 a） 1 2 4 3 dintin@gmail.com
R是可传递的的和反对称的；但不是自反的和对称的。 3-6.3 举出A={1，2，3}上关系R的例子，使其具有下述性质： a）既是对称的，又是反对称的； b）R既不是对称的，又不是反对称的； c）R是可传递的。 解 a）R={＜1，1＞，＜2，2＞，＜3，3＞} b）R={＜1，2＞，＜2，1＞，＜2，3＞} c) R={＜1，2＞，＜2，1＞，＜1，1＞，＜2，2＞，＜3，3＞} 3-6.4 如果关系R和S是自反的，对称的和可传递的，证明R∩S也是自反，对称和可传递的。 证明 设R和S是X上的自反的，对称的和可传递的关系。 1）对任意x?X，有＜x，x＞?R和＜x，x＞?S，所以＜x，x＞?R∩S，即R∩S在X上是自反的。 2）对任意的＜x，y＞?R∩S，有＜x，y＞?R∧＜x，y＞?S，因为R和S是对称的，故必有＜y，x＞?R∧＜y，x＞?S。即＜y，x＞?R∩S，所以R∩S在X上是对称的。 3）对任意的＜x，y＞?R∩S∧＜y，z＞?R∩S，则有 ＜x，y＞?R∧＜x，y＞?S∧＜y，z＞?R∧＜y，z＞?S 因为R和S是传递的，故得＜x，z＞?R∧＜x，z＞?S，即＜x，z＞?R∩S，所以R∩S在X上是传递的。 3-6.5给定S={1，2，3，4}和S上关系：R={＜1，2＞，＜4，3＞，＜2，2＞，＜2，1＞，＜3，1＞} 说明R是不可传递的，找出关系R1?R，使得R1是可传递的，还能找出另一个27
3-7.1设R1和R2是A上的任意关系，说明以下命题的真假并予以证明。 a）若R1和R2是自反的，则R1○R2也是自反的； b）若R1和R2是反自反的，则R1○R2也是反自反的； c）若R1和R2是对称的，则R1○R2也是对称的； d）若R1和R2是传递的，则R1○R2也是传递的。 证明 a）对任意a∈A，设R1和R2是自反的，则＜a，a＞∈R1，＜a，a＞∈R2 所以，＜a，a＞∈R1○R2，即R1○R2也是自反的。 b）假。例如：设A={a，b}，有R1={＜a，b＞}与R2={＜b，a＞} R1和R2是反自反的。但R1○R2={＜a，a＞}，所以R1○R2在A上不是反自反的。 c)假。例如：设A={a，b，c}，有 R1={＜a，b＞，＜b，a＞，＜c，c＞}，R2={＜b，c＞，＜c，b＞} R1和R2是对称的，但R 1○R2={＜a，c＞，＜c，b＞} 所以，R1○R2不是对称的。 d）假。例如：设A={a，b，c}，有 R1={＜a，b＞，＜b，c＞，＜a，c＞}，R2={＜b，c＞，＜c，a＞，＜b，a＞} 则R1，R2都是传递的。但R 1○R2={＜a，c＞，＜a，a＞，＜b，a＞} 所以，R1○R2不是传递的。 3-7.2 证明 若S为集合X上的二元关系： a）S是传递的，当且仅当（S○S）?S； b）S是自反的，当且仅当IX?S； c）证明定理3-7.3（b）（即S是反对称的，当且仅当S∩Sc?IX）。 证明 a）设S为传递的，若＜x，z＞∈S○S，则存在某个y∈X，使得＜x，ydintin@gmail.com
＞∈S，且＜y，z＞∈S。 若S是传递的，＜x，z＞∈S，所以（S○S）?S。 反之，设（S○S）?S ，假定＜x，y＞∈S且＜y，z＞∈S，则＜x，z＞∈S○S。因为（S○S）?S，故＜x，z＞∈S，得到S是传递的。 b）设S是自反的，令＜x，y＞∈IX，则x=y。但＜x，x＞∈S，因此＜x，y＞=＜x，x＞∈S，得IX?S。 反之，令IX?S，设任意x∈X，＜x，x＞∈IX，故＜x，x＞∈S，因此S是自反的。 c）设S是反对称的。假定＜x，y＞∈S∩Sc，则 ＜x，y＞∈S∧＜x，y＞∈Sc?＜x，y＞∈S∧＜y，x＞∈S 因为S是反对称的，故x＝y， 所以＜x，y＞＝＜x，x＞∈IX，即S∩Sc?IX。 反之，若S∩Sc?IX，设＜x，y＞∈S且＜y，x＞∈S，则 ＜x，y＞∈S∧＜x，y＞∈Sc ?＜x，y＞∈S∩Sc ?＜x，y＞∈IX 故x＝y，即S是反对称的。 3-7.3 设S为X上的关系，证明若S是自反和传递的，则S○S=S，其逆为真吗 ？ 证明 若S是X上传递关系，由习题3-7.2a）可知（S○S）?S， 令＜x，y＞∈S，根据自反性，必有＜x，x＞∈S，因此有＜x，y＞∈S○S，即S?S○S。得到 S=S○S. 这个定理的逆不真。例如X={1，2，3}，S={＜1，2＞，＜2，2＞，＜1，1＞}，28
3-8.1 根据图3-8.1中的有向图，写出邻接矩阵和关系R，并求出R的自反闭包和对称闭包。 解 a M1 1 0 R= 0 0 1 b c 0 1 0 图3-8.1 R={＜a，a＞，＜a，b＞，＜b，c＞，＜c，b＞＝ r（R）= R∪IX ={＜a，a＞，＜b，b＞，＜c，c＞，＜a，b＞，＜b，c＞，＜c，b＞＝ s（R）= R∪RC={＜a，a＞，＜a，b＞，＜b，a＞，＜b，c＞，＜c，b＞} 3-8.2 设集合A={a，b，c，d}A上的关系 R={＜a，b＞，＜b，a＞，＜b，c＞，＜c，d＞} a） 用矩阵运算和作图方法求出R的自反、对称、传递闭包； b） 用Warshall算法，求出R的传递闭包。 解 a） 0 1 0 0 MR= 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 R的关系图如图所示。 a b d c M0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 R+MIA= 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 + 0 0 1 0 = 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 r（R）= R∪IA ={＜a，a＞，＜a，b＞，＜b，a＞，＜b，b＞，＜b，c＞，＜c，c＞，＜c，d＞，＜d，d＞}（图（a）） a b d c 图（a） 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 MR+MRc= 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 + 0 1 0 0 = 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 dintin@gmail.com 29
3-9.1 4个元素的集合共有多少不同的划分。 解 整数4可划分为：4，1+3，1+1+2，2+2，1+1+1+1。 1+C12124+C4+2 C4+1=15（种） 3-9.2 设{A1，A2，?，Ak}是集合A的一个划分，我们定义A上的一个二元关系R，使＜a,b＞∈R当且仅当a和b在这个划分的同一块中。证明R是自反的，对称的，和传递的。 证明 设对任意a∈A，则必存在Ai，使a∈Ai，因a与a必可看作在同一块中，故有＜a,a＞∈R。即R是自反的。 设a,b∈A，若有＜a,b＞∈R，则a与b必在同一块，故b与a亦在同一块，＜b, a＞∈R，即R是对称的。 对任意a,b,c∈A， ＜a,b＞∈R∧＜b,c＞∈R ?（?i）（a∈Ai∧b∈Ai）∧（?j）（b∈Aj∧c∈Aj） ?（?i）（?j）（a∈Ai∧c∈Aj∧b∈Ai∩Aj） ?（?i）（?j）（a∈Ai∧c∈Aj∧Ai∩Aj≠?） ?（?i）（?j）（a∈Ai∧c∈Aj∧i=j）（∵i≠j?Ai∩Aj= ?） ?a,c在同一块 ?＜a,c＞∈R ∴R传递 dintin@gmail.com 30