从复数域的发展过程，谈谈您对数和数学的认识
摘要:域是数学上的一个概念，简单的说就是数的集合，这个集合对加、减、乘、除（分母不为零）四则运算封闭，复数域是由全体复数组成，是特殊的实数域，也是目前发现的最大的一个数域，在数学方面有着很广泛的应用。本论文主要从复数的四则运算，在复平面上的三角形式，在近世代数方面的应用，有关复数域的扩充和在其他领域的应用五个方面来认识数与数学。
关键字：复数 域扩充 应用
Abstract: domain is a concept of mathematics, It a collection of several in brief, this collection of addition, subtraction, multiplication, and division (the denominator is not zero) arithmetic closed, complex domain is composed of all the complex, is a special real domain, also is currently the largest discovery of a number field, has a wide application in mathematics. This thesis mainly from the complex arithmetic, triangle on the complex plane form, the application in modern algebra, complex domain expansion and in other areas of application in five aspects to know Numbers and math.
Key word: complex Domain expansion application
目录
摘要..................................................1 引言..................................................3 1.复数的发展过程 .....................................3 2.复数域内复数的四则运算..............................4 2.1复数的加法运算...................................4 2.2复数的减法.......................................4 2.3复数的乘法.......................................4 2.4复数的除法.......................................4 3.复数域内复数在复平面的三角形式......................5 3.1复平面...........................................5 3.2复数在平面内的表示...............................5 3.3复数的三角形式...................................5 3.3.1复数的三角形式...............................5 3.3.2 非零复数z辐角?的多值性......................6 3.3.3 辐角主值 ....................................6 3.3.4复数三角形式z?r(cos??isin?)的特点.............6 3.4复数的向量表示...................................7 3.5极坐标形式.......................................9 3.6复数的指数形式...................................10 4.复数域内复数在近世代数中的应用......................11 5.关于复数的扩充......................................11 6.复数域在其他领域的应用..............................15 6.1拉普拉斯变换.....................................15 6.2根轨迹法.........................................16 6.3希尔伯特空间.....................................17 总结...................................................18 参考文献...............................................20
引言
正如大家所知道的，全体自然数、全体整数不够成域，全体有理数构成有理数域，全体实数构成实数域，全体复数构成复数域。“复数”、“虚数”这两个名词，是人们在用公式求一元二次、三次方程的根，遇到求负数的平方根的问题时提出的。复数域是实数域扩充的一个大域，其数学实质是使得x2+1=0在大域中有根。本论文主要从复数的四则运算，在复平面上的三角形式，在近世代数方面的应用，有关复数域的扩充和在其他领域的应用五个方面来认识数与数学。
1.复数的发展过程
复数从提出到证明再到推广经历了一个漫长的过程。1545年，意大利数学家卡丹诺（GirolamoCardano,1501年—1576年）在《大术》一书中，首先研究了虚数，并进行了一些计算，1572年，意大利数学家邦别利（RafaclBombclli,1525年—1650年）正式使用“实数”“虚数”这两个名词。此后，德国数学家莱布尼兹（GottfriedWilbclmLcibniz,1646
年—1716
年）、瑞士数学家欧拉
（LeonhardEuler,1707年—1783年）和法国数学家棣莫佛（AbrabamdeMoivre,1667年—1754年）等又研究了虚数与对数函数、三角函数等之间的关系，除解方程以外，还把它用于微积分等方面，得出很多有价值的结果，使某些比较复杂的数学问题变得简单而易于处理。大约在1777年，欧拉在发表的《微分公式》中第一次用i来表示-1的平方根。1832年，德国数学家高斯（CarlFricdrichGauss,1777年—1855年）第一次引入复数概念，一个复数可以用a＋bi来表示，其中a，b是实数，i代表虚数单位，这样就把虚数与实数统一起来了。高斯还把复数与复平面内的点一一对应起来，给出了复数的一种几何解释。不久，人们又将复数与平面向量联系起来，并使其在电工学、流体力学、振动理论、机翼理论中得到广泛的实际应用，然后，又建立了以复数为变数的“复变函数”的理论，这是一个崭新而强有力的数学分支，所以我们应该深刻认识到了“虚数不虚”的道理。
16世纪意大利米兰学者卡当（Jerome Cardan1501—1576）在1545年发表的《重要的艺术》一书中，公布了三次方程的一般解法，被后人称之为“卡当公式”。卡当公式就是对于不完全三次方程x3?px?q?0其求根公式是：他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家，给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔（1596—1650），他在《几何学》（1637年发表）中使“虚的数”与“实的数”相对应，从此，
虚数才流传开来。
面对数系的不断扩充，直到现在最大的数域—复数域，新的问题就出来了：是否还能在保持复数域的基本性质的条件下对复数进行新的扩张呢？
对于在复数域的发展过程中对数与数学的认识我们从以下几个方面来认识和理解。
2.复数域内复数的四则运算
设z1?a?bi，z2?c?di(a,b,c,d?R)是任意两个复数，我们规定： 2.1 复数的加法运算
复数的加法运算法则：z1?z2?(a?c)?(b?d)i
复数的加法运算律：
结合律：z1?z2?z3?z1?(z2?z3) 交换律：z1?z2?z2?z1 2.2复数的减法
复数减法是加法的逆运算，复数的减法运算法则：z1?z2?(a?c)?(b?d)i
2.3复数的乘法
复数的乘法运算法则规定复数的乘法按照以下的法则进行：
设z1?a?bi，z2?c?di(a、b、c、d?R)是任意两个复数，那么它们的积 (a?bi)(c?di)?(ac?bd)?(bc?ad)i
其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i换 成-1,并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 乘法运算律： (1) z1(z2z3)?(z1z2)z3 (2) z1(z2?z3)?z1z2?z1z3 2.4复数的除法
2 复数除法定义：满足(c?di)(x?yi)?(a?bi)的复数x?yi(x,y?R)叫做复数
a?bi 除以复数c?di的商，记为：(a?bi)?(c?di)或者
除法运算规则：
a?bic?di
设复数a?bi(a.b?R)，除以c?di(c.d?R)，其商为x?yi(x,y?R)， 即(a?bi)?(c?di)?x?yi
∵(x?yi)(c?di)?(cx?dy)?(dx?cy)i ∴(cx?dy)?(dx?cy)i?a?bi (a?bi)?(c?di)?a?bi(a?bi)(c?di)ac?bdbc?ad??2?2i 22c?di(c?di)(c?di)c?dc?d3.复数域内复数在复平面的三角形式 3.1复平面
借助于横坐标为x、纵坐标为y的点来表示复数z?x?iy，x轴的叫实轴
y 轴上的非原点的点对应着纯虚数，故y轴称为虚轴，这样表示复数z的平 面称为复平面。
3.2复数在平面内的表示
在复平面上表示出复数z=a+bi所对应点和所对应的向量OZ.
x Z(a,b) b r o a y a 复数的实部 r 向量oz的模长 b 复数的虚部
3.3复数的三角形式 3.3.1复数的三角形式