定义：复数z?a?bi(a,b?R)表示成z?r(cos??isin?)的形式叫复数
z三角形式，其中?为复数z的辐角
y Z(a,b)
r θ O a x
因为：a?rcos?,b?rsin?； 所以：a?bi?rcos??irsin??r(cos??isin?)
其中r?a2?b2，cos??abb ，sin??,tan??rra
把Z?r(cos??isin?)叫复数的三角形式 Z?a?bi叫复数的代数形式
3.3.2 非零复数z辐角θ的多值性。
以ox轴正半轴为始边，向量所在的射线为终边的角θ叫复数Z?a?bi
的辐角，因此复数z的辐角是
y Z r θ b O a x 3.3.3 辐角主值
定义：适合[0,2?)的角θ叫辐角主值
表示法；用argz 表示复数z的辐角主值。 唯一性：复数z的辐角主值是确定的，唯一的。 3.3.4复数三角形式z?r(cos??isin?)的特点： （1）r?0；
（2）同角即是相同的； （3）中间用加号连接； （4）前余后正。
3.4复数的向量表示
在复平面内与复数、对应的点分别为、（如图）
y z2 Z ? ?2 z1 ?1 O x 向量oz1对应于z1 向量oz2对应于z2 向量z1z2对应于z2?z1?z 与复数z2?z1对应的向量oz 显然oz//z1z2 则argz1??xoz1??1 argz2??xoz2??2
argZ(z2?z1)?argZ??xoz??
例1．下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式:
2cos??isin?） (1)Z1?-（ (2) Z2?cos??isin?
分析:由三角形式的结构特征，确定判断的依据和变形的方向.变形时，可 按照如下步骤进行:首先确定复数Z对应点所在象限（此处可假定θ为锐角）， 其次判断是否要变换三角函数名称，最后确定辐角.此步骤可简称为“定点 →定名→定角”.这样，使变形的方向更具操作性，能有效提高解决此类问 题的正确率.
2cos??isin?） 解:（1）由“模非负”知，不是三角形式，需做变换:Z1?（ 复平面上Z在第三象限（假定θ为锐角），余弦“-cos?” （1-2cos?,?2sin?） 已在前，不需再变换三角函数名称，因此可用诱导公式“π+θ”将θ变换 到第三象限.
∴Z1?（2-cos??isin?）?2[cos(???)?isin(???)]
（2）由“加号连”知，不是三角形式 （加号连就是cos和sin中间 是加号连接的），复平面上点Z2?在第四象限（假定θ为 （cos?,?isin?） 锐角），不需改变三角函数名称，可用诱导公式 “2?-?”或“-?”将?变换到第四象限. ∴ Z2?cos??isin??cos(??)?isin(??)
或Z2?cos??isin??cos(2???)?isin(2???) 考虑到复数辐角的不唯一性，复数的三角形式也不唯一.
小结:对这类与三角形式很相似的式子，如何将之变换为三角形式，对于 初学者来讲是个难点.有了“定点→定名→定角”这样一个可操作的步骤， 应能够很好地解决此类问题。
例2．求复数Z?1?cos??isin?(????2?)的模与辐角主值.
分析:式子中多3个“1”，只有将“1”消去，才能更接近三角形式，因 此可利用三角公式消“1”
解：Z?1?cos??isin??1?(2cos2??1)?2i?sin?cos?
222 =2cos?(cos??isin?) ??????（1） 222 ∴????2? ∴?????, ∴cos??0
222 ∴(1)式右端=-2cos?(?cos??isin?)??2cos?[cos(???)?isin(???)] 222222 ∴r?2cos?,ArgZ?????2k?(k?Z)
22 ∵?????, ∴ 3??????2?， ∴argZ????
22222 小结:（1）式右端从形式上看似乎就是三角形式.不少同学认为 r?2cos?,argZ??或ArgZ??错误之处在于他们没有去考虑θ角范围，
222
因此一定要用“模非负，角相同，余弦前，加号连”来判断是否为三角形 式.看了这道例题，你一定能解决如Z1?1?cos??isin?(????2?)， Z2?1?cos??isin?(????2?)等类似问题.
例3．将Z?1?itg?11(????3?)化为三角形式，并求其辐角主值.
1?itg?4 分析:三角形中只有正余弦，因此首先想到“化切为弦”.下一步当然 是要分母实数化，再向三角形式转化. 解：
1?isin?1?itg?(cos??isin?)2cos??isin? cos?????cos2??isin2?1?itg?1?isin?cos??isin?(cos??isin?)(cos??isin?)cos?
∵11????3?, ∴11??2??6?
42 ∴3??2??4??2?， ∴argZ?2?-4?
2 小结:掌握三角变形是解决这类问题的根本.但在此之前的解题方向一定 要明确，即要分析式子结构.比较其与三角形式的异同，从而决定变形的 方向，采用正确的方法.要求学生做好每道例题后的反思，并能由此及彼， 举一反三，达到熟练解决一类问题的目的，如1-itg?, tg??i, i?ctg?等. 3.5极坐标形式
作为替代，复数z可以用极坐标来指定。极坐标是叫做绝对值或模的r?|Z|?0 和叫做z的辐角的??arg(z)。对于r?0，任何值的φ都描述同一个数。要得到唯 一的表示，常规的选择是设置arg(0)?0。对于r?0辐角φ 模以2π后是唯一的； 就是说，如果复数辐角的两个值只相差精确的2π的整数倍数，则它们被认为是等 价的。要得到唯一表示，常规的选择是限制φ在区间(??,?]内，就是-?????。 复数的极坐标表示叫做复数的“极坐标形式”。 从极坐标形式到笛卡儿坐标形式的转换 x?rcos? y?rsin?
从笛卡尔坐标形式到极坐标形式的转换 r?x2?y2
前面的公式要求非常繁杂的情况区分。但是很多编程语言提供了经常叫做atan2 一个变体的反正切函数来处理这些细节。使用反余弦函数的公式要求更少的情况 区分:
3.6复数的指数形式
在对复数三角形式的乘法规则讨论中，我们发现，复数的三角形式将复数的乘 法“部分地”转变成加法（模相乘，幅角相加） 这种改变运算等级的现象在初等函数中有过体现：
对数函数与指数函数：axay?ax?y loga(xy)?logax?logay
前者将两个同底幂的乘积变成同底的指数相加；后者将两个真数积的对数变成 两个同底对数的和。
从形式上看，复数的乘法与指数函数的关系更为密切些
xyx?yzz?rr[cos(???)?isin(???)](ba).(ba)?(bb).a121212121212
根据这个特点，复数z?r(cos??isin?)应该可以表示成某种指数形式，即复数 应该可以表示成y.ax的形式。即：z?a?bi?r(cos??isin?)?rei?
定义：复数z?a?bi(a,b?R)表示成z?rei?的形式叫复数z的指数形式，其中 θ为复数z的辐角。
从复数的模与幅角的角度看，复数的指数形式其实是三角形式的简略化