个线性变换，可将一个有引数实数t(t?0)的函数转换为一个引数为复数s的函数。 解析该应用：从定义我们可以得出该定理是把定义域从实数转为在复数域上。即：在有些情形下一个实变量函数在实数域中进行一些运算并不容易，但若将实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往在计算上容易得多。
用该复数的应用的推广领域：拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用传递函数代替常系数微分方程来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性、分析控制系统的运动过程，以及提供控制系统调整的可能性。
在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用。 6.2 根轨迹法
轨迹法定义：特征方程的根随某个参数由零变到无穷大时在复数平面上形成的轨迹，称为根轨迹。（注：此处利用根轨迹分析和设计闭环控制系统的图解方法） 解析该应用：大家都知道高等代数里特征方程在很多领域都有相关的应用和计算，但是当特征方程的次数不高于2时, 其根可用解析方法来简单地定出；但当特征方程的次数高于 2时，求根过程将变得相当复杂。于是就出现了根轨迹发——在复平面上作图。于是我们得出结论：根轨迹法为简化特征方程的求根过程提供了一种有效的手段。
该复数的应的推广领域：
用于分析开环增益(或其他参数)值变化对系统行为的影响：在控制系统的极点中，离虚轴最近的一对孤立的共轭复数极点对系统的过渡过程行为具有主要影响，称为主导极点对。在根轨迹上，很容易看出开环增益不同取值时主导极点位置的变化情况，由此可估计出对系统行为的影响。
用于分析附加环节对控制系统性能的影响：为了某种目的常需要在控制系统中引入附加环节，这就相当于引入新的开环极点和开环零点。通过根轨迹便可估计出引入的附加环节对系统性能的影响。
用于设计控制系统的校正装置：校正装置是为了改善控制系统性能而引入系统的附加环节，利用根轨迹可确定它的类型和参数设计。 6.3希尔伯特空间
希尔伯特空间定义：在数学中，希尔伯特空间是欧几里德空间的一个推广，其不再局限于有限维的情形。与欧几里德空间相仿，希尔伯特空间也是一个内积空间，其上有距离和角的概念（及由此引伸而来的正交性与垂直性的概念）。
对该应用的理解：因为该空间有距离和角的概念，于是一个抽象的希尔伯特空间中的元素往往被称为向量。在实际应用中，它可能代表了一列复数或是一个函数。例如在量子力学中，一个物理系统可以被一个复希尔伯特空间所表示，其中的向量是描述系统可能状态的波函数。
该复数的应的推广领域：（即在希尔伯特空间的复空间内的一些应用） 系统分析：在系统分析中，系统常常通过拉普拉斯变换从时域变换到频域。因此可在复平面上分析系统的极点和零点。分析系统稳定性的根轨迹法、奈奎斯特图法和尼科尔斯图法都是在复平面上进行的。无论系统极点和零点
在左半平面还是右半平面，根轨迹法都很重要。如果系统极点 位於右半平面， 则因果系统不稳定， 都位于左半平面，则因果系统稳定， 位於虚轴上，则系统为临 界稳定的。 如果系统的全部零点都位於右半平面，如果系统的极点和零点关於虚轴对称，则这是全通系统。
信号分析：信号分析和其他领域使用复数可以方便的表示周期信号。模值|z|表示信号的幅度、辐角arg(z)表示给定频率的正弦波的相位。 利用傅立叶变换可将实信号表示成一系列周期函数的和。这些周期函数通常用形式如下的复函数的实部表示：其中ω 对应角频率，复数z 包含了幅度和相位的信息。 电路分析中，引入电容、电感与频率有关的虚部可以方便的将电压、电流的关系用简单的线性方程表示并求解。有时用字母j 作为虚数单位以免与电流符号i混淆。另外还有反常积分、相对论、量子力学、应用数学流体力学等等。
以上是我们组讨论、查阅资料从而得出的一些与复数有关的理论应用，但是它们都有一个共同特征——在实数域内难以计算，而在复数域内容易计算的应用。到这里大家应该清楚为什么“简单”论述了吧，因为真正在某一个单一的方面关于复数的应用几乎是没有的，而大多都是把复数结合在其它领域、其它学科。于是，我们就只简
单的介绍探讨了复数的一些方面的应用。而若大家想要更加深刻明白地掌握复数的具体应用，我们可以推荐一些参考文献：
总结
本组论文主要从复数的四则运算，在复平面上的三角形式，在近世代数方面的应用，有关复数域的扩充和在其他领域的应用五个方面来认识数与数学，对于该题目，本组成员普遍认为范围太大，但通过这次讨论，还是有所收获，最大的应该要说是了解了有关在复数域的基础上进一步扩充的问题，而这就涉及到四元数这一对我们很新的概念，在本组的论文中我们有对此的一些知识点的描述。大家也提出了一些自己的疑问和看法。
本组成员的个人感想及部分问题：
周明琴（负责复数域在其他领域的应用）
在查找复数的应用这部分里，我发现了复数的具体应用在一些实数不好解决的地方。比如说求积分的时候，可以变化上下线为复数就简单一些。从这一方面，我联系到实际生活里另辟蹊径的说法，如果现有的方法不能解决当前问题，那么我们是否应该换一种思维方式或者跳出一贯的思维找另外的方法。另一方面，我发现复数的应用并不仅仅只是单纯的复数的加减乘除或者复数自成一系统，而多数都是和其它知识，其它学科紧密相连，更大部分是辅助其它领域解决应用问题。这让我联想到实际生活中分工合作，取长补短，共同促进的合作精神和绿叶甘为红花做衬的低姿态高尊容的精神。最后还发现，复数这么学科真的是们新，抽象但有用的学科，它是数的扩充，但并未取代实数的位置。
关于对我们这个论题的感想：
对于我们的这个论题，我将从论题本身、小组讨论过程和查询资料和撰写论文三个方面来谈。
对于我们的论题，这个范围太大太广，我们不容易把握住中心论点，这也对我们查阅资料方面有了阻碍，但是这也是之所以是以小组为单位来完成该论题的目的。
对于小组讨论过程，我们小组是比较认真严谨的，每次组长认真分配任务，记录员仔细到位的做好记录，每个成员积极的发表自己的意见，但是由于该论题的难度，我们的讨论次数和时间都比较长，有时并未做到言简意赅，保质保量。但只是有时。
查询资料这一块，每个成员都比较认真，翻阅图书馆，浏览各大网站等方式，可
以看出两方面，第一，论题的确很难；第二，我们每个人都很认真。
撰写论文，这一块主要是成员提供大部分资料，组长负责语言的整理和撰写，在大家的齐心协力之下，我们的论文按时按要求圆满的完成了。
甘萍（负责复数的三角形式）
复数的三角形式把向量和复数的模有机的结合起来，使得复数的内容更加充实、生动、形象，是复数代数内容的升华，在学习复数的三角形式时，我们可以联系复数的代数形式，并把它与三角形式相融合，两种形式互化，可以使知识体系更加完备、灵活。另外，复数的三角形式是其乘法、除法、乘方、开方运算的基础，通过对复数三角形式在复平面的学习，我们进一步了解到了虚部、实部、模、辐角等概念的含义。在查询资料的过程中，很难找到与题目联系很大的文件。 欧阳先（负责复数域扩充）
这次抽代的课程论文我主要负责写的是复数的扩张这部分。在刚开始搜集资料的的时候，有好多在网上都找不到，最后找了好久才找到的。这次写这个论文给我的感觉就是在网上查找资料很困难，我们组的同学都是把这篇论文分成几个模块一一的去查找，最后在整理成的一片完整的论文。就我写的这部分内容来说，我自我感觉比较难，在网上找到资料时，有好多都根本看不懂，比如说上面介绍的四元数，虽然讲了关于四元数的一些概念，但要看懂还是很困难。文中还介绍了关于四元数的一些应用，我觉得如果能用到实际生活中，应该是很有用的，会大大提高生产效率。还有八元数和十六元数。希望能有更多的人能研究这些数，让科技更加的发达，社会更加的进步，生活更加的便捷。
刘进（复数在近世代数方面的应用）
抽代论文感想：通过这次论文的撰写让我深刻了解到，写出一篇论文不容易，想要写出一篇好的论文更不容易，虽然我们的这篇论文不能说是最好的，但是，它是通过我们小组这几个星期来日以继日、不辞辛劳而完成的，它凝结了我们的辛酸、快乐、思想、灵魂；所以说，它不仅仅是一篇论文，它还包含了我们的一切的一切；当然，写论文的过程也是艰辛的，在查资料的过程中，有很多资料都是不能够直接查到的，我们翻阅了大量的文献以及网上的资料，终于有所斩获。我的疑问：对于我而言，我在《抽象代数》中所看到的关于这方面的内容太少了，不知道是我自己不用心还是什么原因？
冯斯阳（秘书）（负责记录以及复数的四则运算）
个人觉得这次论文是我们写的最认真的一次，大家都讨论的很积极，对于复数的认识又加深了好多，以前我认为复数域应该是最大的数域了吧，现在我觉的应该有比复数域更大的数域，有可能会有四元数的存在。而且每次数域的扩充都是为了解决新的问题，是数不够用了。还有就是觉得讨论很重要，有些问题自己想不明白，但是大家一起讨论要好很多，团队合作精神很重要。
张燕（负责论文）
这次论文的完成是大家共同努力的成果，作为组长，大家都合并积极地配合，积极参加每一次的讨论，都积极地发言，尽管不是每一次都有很多话说，但是整体下来还是很不错的，有关数域的扩充，我想大胆的问一下，目前在复数域的基础上出现了四元数，八元数，十六元数...,那数域的扩充是否会停下来？数域的终点是什么？
参考文献
[1] 肖光明.周克省.复数在振动与波动学研究中的应用.岳阳广播电视大学物理系 [2] 杨德义.要会芳.刘鸿福.复数道分析方法在陷落柱研究中的应用.太原理工大学.矿业工程系
[3] 钟玉泉 第三版 复变函数
[4]解延年.哈密顿.《简明不列颠百科全书》.
[5]张祖贵.四元数与代数学的变革.自然辩证法研究. [6]孙家广，杨长贵，计算机图形学.
[7]石明生.近世代数初步.—2版.—北京：高等教育出版社，2006”