4.复数域内复数在近世代数中的应用
复数在近世代数中的应用，主要体现在复数域的构造；其构造复数域的过程如下：
在实数域R上负数是没有平方根的，即，a是正实数，这方程在R中无解。但实际上从16世纪开始就有数学家引入形如的数，其中a，b为实数，并且认为它也适合实数所适合的运算规则。这样所有负数的平方根可通过来表达，且能对形如的数进行加减乘除四则运算。这种形式的数称为复数。其后，人们证明了三次和四次复数系多项式（包括实系多项式）的根能够通过系数的加减乘除和根式运算的某种公式来求得，即使是实系数多项式的实数根，其根的公式中也不能避免出现形式的复数。由此看出复数这个运算系统的引入是很有用的。尽管如此，由于记号的引入及运算缺乏严格的基础，许多数学家仍认为这种形式的数是“虚”的，“想像”的数，称为虚数。历史上，虚数的支持者与反对者的斗争经历了300年。到19世纪经过Gauss和Hamilton的平面点集上严格定义了四则运算，检验了运算规则才得到严格意义下的复数。中学课程中我们虽讲了复数，但也不是严格的构造。以上就是复数域的构造过程。
5.关于复数的扩充
从自然数集到复数集的扩张。其扩张共经历了四次，即从自然数集到整数集；
从整数集到有理数集；从有理数集到实数集；从实数集到复数集。在每一次扩张中，人们都遵守了如下的几条原则：
(1) 扩张的目的：在原数中不能总进行的某种运算，在扩张后的新数集中总能进行。 (2) 扩张后的集合要扩大：进行的每一次扩张总是从一个较小的原数集扩充到一个较大的新数集，且使得原数集是新数集的一部分。
(3) 保持原有的运算：进行扩张时，要使原数集中所能够进行的运算在新的数集中有意义，并且当把原数集中的数看成新数集中的数进行运算时，其结果应与它们在原数集中所得到的结果完全相同。
（4) 扩张的最小性与唯一性：要使扩张后的新数集是旧数集满足以上的(1)、(2)与(3)原则的最小扩张，并且该扩张是唯一的。
我们已经看到，数集的每一次扩张，人们都能够解决一些在原数集中不能解决的问题。既然数集扩张后有如此的作用，所以人们自然会想到，能否将复数集再进行扩充，使得在扩充后的新数集中能够进行四则运算，并且复数集是新数集的一个特例。不仅
如此，还希望这新的数
集可以同空间向量等同起来，使两者的加法运算相一致。
诚然，这种愿望是美好的，同时也是十分自然的。历史上，这些想法曾困扰过许多数学家，但这些愿望却实现不了。因为满足所提要求的新数集是不存在的。 事实上，假设K是这样一个新数集。于是在取定了直角坐标系的空间中表示向量的三数组(a,b,c)应该同K中的元素q?a?bi?cj,对应起来，其中i是虚数单位，即
i2??1，j是添加到复数集中的一个新数。
为了与复数集一致，在K中自然规定： a1?b1i?c1j?a2?b2i?c2j 当且仅当
a1?a2,b1?b2,c1?c2
于是当a?bi?cj?0时，必有a?b?c?0。 由于向量加法的定义是
（a1,b1,c1）?(a2,b2,c2)?(a1?a2,b1?b2,c1?c2) 所以在K中的两个元素的加法自然规定为
（a1?b1i?c1j）?(a2?b2i?c2j)?(a1?a2)?(b1?b2)i?(c1?c2)j i与j相乘的结果自然要求属于K.故设 i?j?a?bi?cj -j?ai?b?ci?j 也就是
ci?j?b?ai?j 用c乘(1)式两端后减法(2)式的两端得 (ac?b)?(bc?a)i?(c2?1)j?0
由此得c2?1?0，这与c是实数矛盾。这表明新数集K是不可能存在的。 我们在上面的讨论中，对新的数集K要求很多，至使我们不能如愿以偿。那么自然会问：若我们舍去某些要求，能否将复数集扩大呢?1883年，著名数学家威廉?卢云?
哈密顿(Hamilton)将复数集扩张成“四元数集”. 我们记
F??x|x?a?bi?cj?dk,a,b,c,d为实数? 称F是四元数集，称x?F为四元数. 对于F中的两个数x1,x2，
x1?a1?b1i?c1j?d1k,x2?a2?b2i?c2j?d2k 我们规定： x1?x2 当且仅当
a1?a2,b1?b2,c1?c2,d1?d2. 此外，我们如下来规定加法运算：
x1?x2?(a1?a2)?(b1?b2)i?(c1?c2)j?(d1?d2)k.
显然，x1?x2仍是F中的元素，称它为x1与x2的和.容易验证，对于加法来说，交换律与结合律均成立。
有了加法，仿复数情形，可定义加法的逆运算——减法。用等式 x1?x2?(a1?a2)?(b1?b2)i?(c1?c2)j?(d1?d2)k. 来定义x1与x2的差.
0?0?0i?0j?0k?F, 显然有：对于任意的x?F,有 0?x?x.
我们称0为F中的零元. 称满足方程 x?y?0 的y为x的负元.显然有
y??a?bi?cj?dk.
为定义乘法，先规定1,i,j,k之间的乘法如下：
12?1；1i?i1?i;
11j?j1?j;1k?k1?k; i2?j2?k2??1; ij?k,jk?i,ki?j; ji??k,kj??i,ik??j. 其次规定：
x1x1?(a1?b1i?c1j?d1k)(a2?b2i?c2j?d2k)
?(a1a2?b1b2?c1c2?d1d2)?(a1b2?a1b1?c1d2?d1c2)i ?(a1c2?b1d2?c1a2?d1b2)j?(a1d2?b1c2?c1b2?d1a2)k 依上述规定，可以证明，F中的乘法满足结合律，但不满足交换律；乘法对加 法满足分配律。
对于x?a?bi?cj?dk?F，令 x?a?bi?cj?dk,
称x为x的共轭数.显然有(x)?x.可以算出 xx?a2?b2?c2?d2. 令
2222 x?xx?(a?b?c?d)
称x为x的模.显然，x?F,有x?0,且x?0???x?0. 对于任意的x?F有 1?x?x?1?x,
称1为F中的单位元.当x?0时，有 x?(1/x2x)?(1/x2x)x?1,
称1/x2x为x的逆元，记作x?1?(1/x2x).
对于?，??F，??0，则方程 ?x??
有唯一解x???1?.依此便可相应地定义乘法的逆运算——除法。
至此，我们得到了一个包含着全体复数的四元数集F.在F上定义了加法与乘法两种运算。这两种运算都满足结合律，加法还满足交换律，乘法对加法还满足分配律。这两种运算都有逆运算。但是F中的乘法却不满足交换律。因此，F没有复数域中许多的性质。尽管如此，这并不妨碍在F上建立四元数理论，它在物理、力学等领域有着许多实际的应用。
四元数是由爱尔兰数学家威廉·卢云·哈密顿(Hamilton)在1843年发现的数学概念.从明确地角度而言，四元数是复数的不可交换延伸。如把四元数的集合考虑成多维实数空间的话，四元数就代表着一个四维空间，相对于复数为二维空间。 四元数大量用于电脑绘图（及相关的图像分析）上表示三维物件的旋转及方位。四元数亦见于控制论、信号处理、姿态控制、物理和轨道力学，都是用来表示旋转和方位。相对于另两种旋转表示法（矩阵和欧拉角），四元数具有某些方面的优势，如速度更快、提供平滑插值、有效避免万向锁问题、存储空间较小等等。
在复数的扩张中，还有八元数和十六元数。八元数第一次被描述于1843年，于一封John Graves给哈密顿的信中。后来八元数由凯莱在1845年独自发表。凯莱发表的八元数和John Graves给哈密顿的信中所提及的并无关系。八元数可视为是透过实数构造而成的八维向量空间，它的乘法是由八个单位元素(1,i,j,k,l,m,n,o)遵循规则进行的,八元数乘法不满足于交换律和结合律。十六元数透过实数形成16维的向量空间。彷如八元数，其乘法不符合交换律及结合律。十六元数的16个单元十六元数是: 1,e1, e2, e3, e4, e5, e6,e7, e8, e9,e10, e11, e12, e13, e14和e15。
6.复数域在其他领域的应用
在之前我们谈了复数的发展历程和基础的计算方法等方面，现在我们将来对复数
的应用作简单的阐述。为什么是强调“简单”，针对这个问题，大家可以在通过我们的阐述过程里得到答案。以下是我们讨论得出的复数的一些应用。 6.1拉普拉斯变换
首先介绍一下拉普拉斯变换的定义：
拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换，又名拉氏转换。拉氏变换是一