行列式的性质：
? 行列式中行列互换，其值不变
a11a12a13a11a21a31a21a22a23＝a12a22a32 a31a32a33a13a23a33? 行列式中两行（列）对换，其值变号
a11a12a13a21a22a23a21a22a23＝－a11a12a13
a31a32a33a31a32a33? 行列式中如果某行（列）元素有公因子，可以将公因子提到行列式外
a11a12a13a11a12a13ka21ka22ka23＝ka21a22a23 a31a32a33a31a32a33? 行列式中如果有一行（列）每个元素都由两个数之和组成，行列式可以拆成两个行列式的和
a11a12a13a11a12a13a11a12a13a21?b21a22?b22a23?b23＝a21a22a23＋b21b22b23 a31a32a33a31a32a33a31a32a33由以上四条性质，还能推出下面几条性质：
? 行列式中如果有两行（列）元素对应相等，则行列式的值为0 ? 行列式中如果有两行（列）元素对应成比例，则行列式为 0 ? 行列式中如果有一行（列）元素全为0，则行列式值为 0
? 行列式中某行（列）元素的k倍加到另一行（列）
，则其值不变 a11a12a13a11a12a13a21a22a23＝a21a22a23 a31a32a33a31?ka11a32?ka12a33?ka13n阶行列式的展开性质：
a11a12?a1nD=
a21a22?a2n????
an1an2?ann等于它的任意一行的各元素与其对应的代数余子式的乘积和，即
D＝ai1Ai1+ai2Ai2???ainAin i?1,2,?,n
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? 按列展开定理
D＝a1jA1j+a2jA2j???anjAnj j?1,2,?,n
? n阶行列式D的某一行的各元素与另一行对应元素的代数余子式的乘积和等与零，即
ai1Aj1+ai2Aj2???ainAjn＝0 i?j
? 按列展开的性质
a1iA1j+a2iA2j???aniAnj＝0 i?j
特殊行列式
a11?
a22?ann＝a11a22?ann；
a1na2(n?1)?an1＝(?1)n(n?1)2a1na2(n?1)?an1
? 上（下）三角行列式和上面的对角行列式的结果相同。
第二节 矩 阵
矩阵是线性代数中最重要的研究对象，熟练掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置、求逆和初等变换等运算是学好线性代数的重要基础。
【解题技巧】 【必知公式】
1． 矩阵的概念和运算．矩阵的加法、数乘、乘法、转置、方阵的幂乘的定义及性质。
? 矩阵乘法定义：(AB)ij??kAikBkj
? 矩阵乘法不满足交换律和消去律。满足结合律和左（右）乘分配律。
若A可逆，则AB?AC?B=C
? A，B是n阶方阵，则AB?AB ? AB?BTAT
2．逆矩阵
? 定义：对方阵A，若存在方阵B使得AB=BA=I ? A可逆?A?0
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? 公式：A?1?3．伴随矩阵
1*?1A |A?1|?A, (AB)?1?B?1A?1 A? 定义：A*＝(Aij)T ? 基本关系式：AA*?AI ? 与逆矩阵的关系：A?1?? 行列式：A*?A4．矩阵方程
n?11*A A
? 设A是n阶方阵，B是n?m矩阵，若A可逆，则矩阵方程AX?B有解，其解为
X?A?1B.
? 设A是n阶方阵，B是n?m矩阵，若A可逆，则矩阵方程XA?B有解，其解为
X?BA?1.
5．矩阵的秩
? 在m?n矩阵A中，任取k行k列，位于这k行k列交叉处的k2个元素按其原来的次序组成一个k阶
行列式，称为A的一个k阶子式。
? 若矩阵A中有一个r阶子式不为零，而所有r＋1阶子式全为零，则称矩阵A的秩为r，记作r(A). m(,n)； ? 显然有 r(A)?0?A?0， r(Am?n)?min r(A)?r?A中有一个r阶子式不为零； r(A)?r?A中所有r＋1阶子式全为零；
对于n阶方阵A，r(A)?n?A?0；
对于n阶方阵A，若r(A)?n，则称A是满秩方阵。 6．矩阵的秩有以下一些常用的性质： （k?0）； ? r(A)?r(AT), r(A)?r(kA)，
? r(A?B)?r(A)?r(B)； ? r(AB)?r(A)，r(AB)?r(B)；
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? r(A)?r(B)?n?r(AB)，其中n为矩阵A的列数；
若Am?nBn?s?0，则r(A)?r(B)?n。
? 若A可逆，则r(AB)?r(B)；若B可逆，则r(AB)?r(A)。
?n,r(A)?n?? r(A*)??1,r(A)?n?1
?0,r(A)?n?1?第三节 向 量
【必知公式】
1．向量组的线性组合与线性表示
? 设?1,?2,...,?s是n维向量，k1,k2,...,ks是数，则k1?1?k2?2?...?ks?s称为向量?1,?2,...,?s的一
个线性组合。
? 若??k1?1?k2?2?...?ks?s，则称?可由?1,?2,...,?s线性表出。
2．线性相关与线性无关
定义：设?1,?2,...,?s是n维向量，若存在不全为零的数k1,k2,...,ks，使得k1?1?k2?2?...?ks?s＝0，则称?1,?2,...,?s线性相关，否则称为线性无关。
定理：若?1,?2,...,?s线性无关，而?1,?2,...,?s，?线性相关，则?可由?1,?2,...,?s线性表出，且表示法唯一。 判断
? 设?1,?2,...,?s是n维向量，?1,?2,...,?s线性相关?r(?1,?2,...,?s)?s?存在某个向量可被其余
s－1个向量线性表出。
? n个n维向量?1,?2,...,?n线性相关?|?1,?2,...,?n|?0。 ? n＋1个n维向量?1,?2,...,?n?1必线性相关。
? 增加向量组向量的个数，不改变向量组的线性相关性；
减少向量组向量的个数，不改变向量组的线性无关性。
? 增加向量组向量的维数，不改变向量组的线性无关性；
减少向量组向量的维数，不改变向量组的线性相关性。
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? 含有零向量的向量组必线性相关。 ? 含有两个相同向量的向量组必线性相关。
3．向量组的秩和极大线性无关组
定义：设向量组?i1,?i2,...,?ir是向量组?1,?2,...,?s的一个部分组，满足 （1）?i1,?i2,...,?ir线性无关；
（2）向量组?1,?2,...,?s的每一个向量都可以由向量组?i1,?i2,...,?ir线性表示出，
则称?i1,?i2,...,?ir是向量组?1,?2,...,?s的一个极大线性无关组。向量组的极大线性无关组中所含向量的个数称为这个向量组的秩。 求法
? 任何矩阵都可以通过矩阵的行初等变换化作阶梯形。 ? 求极大线性无关组的步骤：
（1）将向量依次按列写成矩阵；
（2）对矩阵施行行初等变换，化作阶梯形；
（3）主元所在列标对应到原向量构成一个极大线性无关组。 例如
?1??0(?1,?2,?3,?4,?5)?A（行初等变换）??0??0?0?112000002??01? ?1?2?00??主元所在列是第1列、第2列、第4列，因此?1,?2,?3,?4,?5的一个极大线性无关组是?1,?2,?4，且
r(?1,?2,?3,?4,?5)?3。
4．向量组的秩与矩阵的秩
? 设A是m?n矩阵，将矩阵的每个行看作行向量，矩阵m个行向量构成一个向量组，该向量组的秩称
为矩阵的行秩。
? 将矩阵的每个列看作列向量，矩阵的n个列向量构成一个向量组，该向量组的秩称为矩阵的列秩。
（三秩相等） ? 矩阵的行秩＝矩阵的列秩＝矩阵的秩。
第四节 线性方程组
【必知公式】
1．齐次线性方程组有非零解的判定条件
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