打印数学解题必知公式(5)

? 设A?Mmn，齐次线性方程组AX=O 有非零解?r(A)

AX=O只有零解? r(A)＝0，即系数矩阵满秩。

? 设A是n阶方阵，齐次方程组AX=O 有非零解?A?0；

AX=O只有零解?A?0.

? 设A?Mmn，当m

2．齐次线性方程组解的性质

若?1,?2是齐次线性方程组AX=O的解，则和?1??2仍是AX=O的解； 若?是齐次线性方程组AX=O的解，则?的任意常数倍k?仍是AX=O的解。 3．齐次线性方程组AX=O解的结构

? AX=O的一个基础解系?1,?2,?,?t.

其要点为：

（1）?1,?2,?,?t都是AX=O的解； （2）它们是线性无关的；

（3）AX=O的任何一个解都可以由它们线性表出。因此基础解系往往不是唯一的。

则基础解系中含有n－r个线性无关的解向量。? 若n元齐次线性方程组AX=O的系数矩阵A的秩r(A)=r，（这一点和上面的（3）等价，即t=n－r）

? 若?1,?2,?,?t是齐次线性方程组AX=O的一个基础解系，则齐次线性方程组AX=O的通解（一般解）

是

X?k1x1?k2x2?...?ktxt 其中k1,k2,?,kt是任意常数。

? 解齐次线性方程组AX=O的基本方法

解齐次线性方程组AX=O的基本步骤：

（1）对系数矩阵作矩阵的初等行变换，化作行阶梯形；

（2）假设有r个非零行，则基础解系中有n－r个解向量，选非主元所在的列的变量为自由未知量； （3）将自由变量依次设为单位向量，求得所需的线性无关的解向量。 4．非齐次线性方程组有解的判定

? 非齐次线性方程组AX?b有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即

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r(A)?r(A|b)

? 若n元非齐次线性方程组AX?b有解，即r(A)?r(A|b)＝r

当r=n时，方程组AX?b有唯一解； 当r

? 设?1,?2是非齐次线性方程组AX?b的两个解，则?1??2是导出组AX?0的一个解。

? 非齐次线性方程组AX?b的任一解?与导出组AX?0的解?的和???是非齐次线性方程组

AX?b的解。

6．非齐次线性方程组解的结构

? 非齐次线性方程组AX?b的通解（一般解）是非齐次线性方程组的一个特解＋导出组的基础阶层的线

性组合。

? 设非齐次线性方程组AX?b，若r(A)＝r，?是AX?b的一个特解，?1,?2,?,?n?r是导出组的基

础解系，则AX?b的通解（一般解）是

X???k1?1?k2?2?...?kn?r?n?r 其中k1,k2,?,kn?r是任意常数。

第五节 矩阵的特征值和特征向量

【必知公式】

1．特征值的定义：设A?Mn，X?0，AX??X，?是A的特征值，X是A的属于特征值?的特征向量。

2．特征值的性质

? 若X1,X2都是A的属于?的特征向量，则X1?X2也是A的属于特征值?的特征向量。

? 若X是A的属于特征值?的特征向量，k是非零常数，则kX也是A的属于特征值?的特征向量。

3．特征值的求法

??a11?a21? A的特征多项式：fA(?)??I?A???an1?a12??an2???a1n?a2n ???a22????annfA(?)??I?A?0??1,?2,?,?n.

（求基础解系） ? 由(?iI?A)X?0?属于?i的特征向量。

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?

??i?trA??aii

? ??i?detA

? 属于不同特征值的特征向量是线性无关。

4．相似矩阵

定义：设A?Mn，若存在可逆矩阵P，满足PAP?B，则称B相似于A, 记作A~B. 5．相似矩阵的性质

相似矩阵由相同的秩，相同的迹，相同的行列式，相同的特征值。 6．n阶方阵的相似对角化的条件

?1? n阶方阵A可对角化?A有n个线性无关的特征向量。

? n阶方阵A可对角化?A的每个特征值的重数等于它对应的线性无关的特征向量的个数，即若

，则n阶方阵A可对角化?I?A?(???1)n(???2n)?(???s)n（其中n1?n2???ns?n）

12s?ni?n?r(?iI?A),i?1,2,?,s.

? 方阵A有n个不同的特征值?A可对角化。

7．方阵的相似对角化的步骤 （1）解A的特征多项式：

??a11fA(?)??I?A??a21??an1?a12??an2???a1n?a2n?

??a22????ann求出A的n个特征值?1,?2,?,?n.（其中可能有相重的特征值）

（2）解特征方程(?iI?A)X?0 (i?1,2,?,n）,求出A的每个特征值对应的线性无关的特征向量，即求(?iI?A)X?0的基础基础解系。

（3）若A共有n个线性无关的特征向量X1,X2,?,Xn，则令P?(X1,X2,?,Xn)，有

??1??P?1AP??????2????. 注意?i与Xi的对应关系。 ???4??

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