曲线?的右焦点F作x轴的垂线，与?在第一象限内相交于N，若直线MN经过坐标原点
O，求双曲线?的离心率．
21．（本小题满分14分）
已知函数f(x)?x?a(x?lnx)，x?0，a?R是常数．试证明： ⑴?a?R，y?(a?1)(2x?1)是函数y?f(x)的图象的一条切线；
2⑵?a?R，存在??(1 , e)，使
参考答案
一、选择题 BCAA CDDB 二、填空题 ⒐
f/(?)?f(e)?f(1)e?1．
?x0?R（3分），
x0?2x0?2?02（
x0写作x亦可，但要统一，否则
只计1处得分；?写作?扣1分）
[0 , ]?( , ?)(?? , 1]42⒑ 3 ⒒ 1 ⒓ （3分），（1分＋1分） 211⒔ 27 ⒕ 2 ⒖ 15
三、解答题
??f(0)?4cos0sin⒗⑴果1分）
?6?1?4?1?1?1?12??4分（代入1分，三角函数值2分，结
⑵向右平移?个单位，所得到的曲线为
y?4cos(x??)sin(x????6)?1??6分
4cos(??)sin(???曲线经过坐标原点，得
?6)?1?0??7分
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3?tan2??sin(2??)?03）??10分 6化简（和差化积或积化和差），得（或
2???6?k?，k?Z??11分，
????k2?12，?的最小正值为
???12??12分．
（若学生在第⑴问化简函数，则相应的分值仍然计入第⑵问）
40?(16?12?8?4)2k??6.67?6.63524?16?20?20⒘⑴由表中数据，得??4分（列式2分，计算
1分，比较1分），
因此，能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为性别与读营养说明有关??5分 ⑵?的取值为0，1，2??6分
2112C12C12?C4C41121P(??0)?2?P(??1)??P(??2)??225，20??12分 C1620，C16C16?的分布列为
??13分
? P
0
1120
1
25
2
120
?的均值为
E??0?11211?1??2??205202??14分．
AB2?BC2?2?AB?BC?cos?ABC?23??1分
⒙⑴连接AC，则AC?（方法一）PA?底面ABCD，所以PA?AB，PA?AC??2分
22PB?PA2?AB2?5，PC?PA?AC?21??3分
PB2?PC2?BC2，所以?PCB?900，BC?PC??4分
因为AD//BC，所以AD?PC??5分
（方法二）CD?AD?AC，所以?CAD?90，AD?AC??2分
2220PA?底面ABCD，所以PA?AD??3分
因为PA?AC?A，所以AD?平面PAC??4分 因为PC?平面PAC，所以AD?PC??5分
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⑵（方法一）过C作CF?AB于F，则CF?平面PAB??6分 连接PF，由⑴知PC?平面ADE当且仅当PC?AE??7分 又CF?AE，所以AE?平面PCF??8分，AE?PF??9分
BF?依题意，
1BC?12，所以AF?3，AF?PA??10分，AE是?PAF的平分线，
从而也是?PAB的平分线??11分
PEPABEAB??在?PAE和?ABE中，sin?PAEsin?PEA，sin?BAEsin?BEA??12分 PEPA3PE33???AB4??13分，PB7，即所求?的值为7??14分． 所以BE（方法二）在平面ABCD内过点A作AF?CD，以A为原点，AF、AB、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系??6分
则A(0 , 0 , 0)，B(0 , 4 , 0)，P(0 , 0 , 3)??7分，C(3 , 3 , 0)??8分 设E(a , b , c)，由PE??PB得，(a , b , c?3)??(0 , 4 , ?3)??9分 解得a?0，b?4?，c?3?3???10分
由⑴知PC?平面ADE当且仅当PC?AE??11分，即PC?AE?0??12分 所以(3 , 3 , ?3)?(0 , 4? , 3?3?)?3?4??3(3?3?)?0??13分
??解得
37??14分．
（方法三）过E作EF//BC，交PC于F，连接DF，则平面ADE即平面ADFE ??6分，由⑴知PC?平面ADE当且仅当PC?DF??7分
PC2?PD2?CD29cos?CPD??2?PC?PD13?21??9分 由⑴及余弦定理得
PF?PD?cos?CPD?所以
921??12分
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PF?PC
921?21?3PEPF3????7??13分，又EF//BC，所以PBPC7??14分．
an?1?⒚⑴由
2an111111????2?an，得an?1an2??1分，an?1an2??2分
?1?11?1??d?aa2的等差数列??3分 所以?n?是首项n，公差
1n?1n?12?1??a?an22??4分，所以?n?N?，nn?1??5分
an?⑵（方法一）
244422????222(n?1)n?2n?1n?2n??6分，nn?2??7分
n?4时，由以上不等式得
22222222222a?(?)?(?)?(?)???(?)?(?)?i132435n?1n?1nn?2??9分 i?1n?2222???12n?1n?2??10分，?3??11分
n?n2?2a??ai??n?3?i?1?是递增数列，所以?n?N，i?1因为???12分．
an?（方法二）
24444???2n(n?1)??6分，nn?2??7分 (n?1)n?2时，由以上不等式得
4444442a?1?a?1?(?)?(?)???(?)??ii2334nn?1??9分 i?1i?22nn?1?44?2n?1??10分，?3??11分
n?n2?2a??ai??n?3?i?1??因为是递增数列，所以?n?N，i?1??12分．
⒛⑴椭圆?的焦距2c1?|F1F2|?2??1分
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2a1?|MF1|?|MF2|?22?93??442??4分
长轴
x2y2??12b?2343椭圆?的短轴1??5分，所以椭圆?的方程为??6分 c2|FN|2b2??1|FN|?222ca??8分 ab?⑵设双曲线焦距为，依题意，??7分，b23N(c , )y?xa??9分，直线OM的方程为2??10分 （方法一）
b23c2?a2313??ce??O、M、N共线，所以a2??11分，即ac2??12分，e2，
2e2?3e?2?0??13分，解得双曲线?的离心率e?2（
e??12舍去）??14分．
|F2M||FN|?|OF||OF|??10分 2（方法二）依题意，?OF2M～?OFN??9分，
3b2c2?a2313??e??2??12分，e2，2e2?3e?2?0??13所以2ac??11分，即ac分，解得双曲线?的离心率e?2（
e??12舍去）??14分．
1f/(x)?2x?a(1?)x??1分，直线y?(a?1)(2x?1)的斜率k?2(a?1)??221．⑴
12x?a(1?)?2(a?1)x分，由，取x?1??3分
f/(1)?2a?2，曲线y?f(x)在点(1 , f(1))的切线为y?f(1)?(2a?2)(x?1)，即y?(a?1)(2x?1)，所以y?(a?1)(2x?1)是曲线y?f(x)的一条切线??4分
f(e)?f(1)a?e?1?a?e?1e?1??5分 ⑵直接计算知
g(x)?f/(x)?设函数
f(e)?f(1)aa?2x?(e?1)??e?1xe?1??6分
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aa(e?2)?(e?1)2g(1)?1?e?a??e?1e?1??7分 aae(e?1)2?ag(e)?e?1???ee?1e(e?1)??8分
[a(e?2)?(e?1)2][a?e(e?1)2](e?1)2g(1)g(e)??a?22e(e?1)a?e(e?1)e?2当或时，
?0??10分，因为y?g(x)的图象是一条连续不断的曲线，所以存在??(1 , e)，使
g(?)?0，即??(1 , e)，使
f/(?)?f(e)?f(1)e?1??11分；
(e?1)2?a?e(e?1)2当e?2时，g(1)、g(e)?0，而且g(1)、g(e)之中至少一个为正??a?e2?1x?g(x)?22a?e?1，等号当且仅当12分，由均值不等式知，
a?(1 , e)2时成
a?e2?1?a?2(e?1)2a?(e2?1)m?22a??g(x)e?1e?1立，所以有最小值，且?a?2(e?1)2a?(e2?1)?[a?2(e?1)]2?(e?1)(e?3)m???0e?1e?1??13分，此
时存在??(1 , e)（
??(1 , aa)??( , e)2或2），使g(?)?0。综上所述，?a?R，f(e)?f(1)e?1??14分．
存在??(1 , e)，使
f/(?)?第 11 页 共 11 页