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2.1空间中点、直线、平面之间的位置关系
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 1、教学重点和难点
重点：空间直线、平面的位置关系。
难点：三种语言（文字语言、图形语言、符号语言）的转换 2、三个公理：
（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
符号表示为
A∈L
B∈L => L α ，A∈α ，B∈α
公理1作用：判断直线是否在平面内
（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
α · C ·
·
A
B
A α · L
符号表示为：A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A∈α、B∈α、C∈α。 公理2作用：确定一个平面的依据。
推论：① 一条直线和其外一点可确定一个平面
②两条相交直线可确定一个平面 ③两条平行直线可确定一个平面
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该
点的公共直线。
β 符号表示为：P∈α∩β =>α∩β=L，且P∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 （4）公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行
α · L P 1
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等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等．
2、空间两条不重合的直线有三种位置关系：相交、平行、异面 3、异面直线所成角θ的范围是 00<θ≤900 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系：
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
共面直线
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a、b、c是三条直线
a∥b c∥b
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点：
① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为简便，点O一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0，)； 2③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；
④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
2
=>a∥c
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2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内 —— 有无数个公共点 （2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 —— 没有公共点
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示
a α a∩α=A a∥α
2.2.直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。 符号表示：
a α
b β => a∥α a∥b
2.2.2 平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
3
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符号表示：
a β a∩b = P β∥α b β a∥α b∥α 2、判断两平面平行的方法有三种： （1）用定义； （2）判定定理；
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质
1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为：线面平行则线线平行。 符号表示：
a∥α
a β a∥b α∩β= b
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 符号表示：
α∥β
α∩γ= a a∥b β∩γ= b
4
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作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 练习巩固：
1、若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线( d ) A.平行 B.异面 C.相交 D.平行或异面 2、下列结论中，正确的有( a ) ①若a
α,则a∥α
②a∥平面α,b
α则a∥b
③平面α∥平面β,aa
α
α,bβ,则a∥b ④平面α∥β,点P∈α,a∥β,且P∈a，则
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3、在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB=CF∶FB=1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是( ) A.平行 B.相交 C.在内 D.不能确定
4、a，b是两条异面直线，A是不在a，b上的点，则下列结论成立的是( d ) A.过A有且只有一个平面平行于a,b C.过A有无数个平面平行于a,b
B.过A至少有一个平面平行于a,b
D.过A且平行a,b的平面可能不存在
5、已知直线a与直线b垂直,a平行于平面α,则b与α的位置关系是( ) A.b∥α B.b
α
C.b与α相交 D.以上都有可能 6、下列命题中正确的命题的个数为( a )
①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α;②若直线a在平面α外，则a∥α; ③若直线a∥b,直线bα,则a∥α;④若直线a∥b,b内的无数条直线.
A.1 B.2 C.3 D.4 7、下列命题正确的个数是( a )
(1)若直线l上有无数个点不在α内，则l∥α
(2)若直线l与平面α平行，l与平面α内的任意一直线平行
(3)两条平行线中的一条直线与平面平行，那么另一条也与这个平面平行 (4)若一直线a和平面α内一直线b平行，则a∥α A.0个
B.1个 C.2个 D.3个
平面α，那么直线a就平行于平面α
5