知识改变命运，学习成就未来
2011年高三数学一轮精品复习学案：函数、导数及其应用
第六节 函数应用
【高考目标定位】
一、函数与方程 1、考纲点击
（1）结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数。
（2）根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解。 2、热点提示
（1）函数与方程的零点、二分法是新课标的新增内容，在近年的高考中一定有所体现。 （2）本节内容多以选择题、填空题的形式出现，属中低档题，不排除与其他知识，在知识交汇处命题。
二、函数模型及其应用 1、考纲点击
（1）了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。
（2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。
2、热点提示
（1）考查数学建模能力以及分析问题、解决问题的能力；几种增长型函数模型的应用可能会成为明年高考的又一生长点。
（2）多以解答题的形式出现，属中、高档题，偶尔也会在选择题、填空题中考查。
【考纲知识梳理】
一、函数与方程 1、函数的零点 （1）函数零点的定义
对于函数y?f(x)?x?D?，把使f(x)?0成立的实数x叫做函数y?f(x)?x?D?的零点。
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（2）几个等价关系
方程f(x)?0有实数根?函数y?f(x)?x?D?的图象与
x轴有交点?函数
y?f(x)?x?D?有零点
注：①函数的零点不是函数y?f(x)?x?D?与x轴的交点，而是y?f(x)?x?D?与
x轴的交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数。
②并非任意函数都有零点，只有f(x)?0有根的函数y?f(x)?x?D?才有零点。 （3）函数零点的判定（零点存在性定理）
如果函数y?f(x)?x?D?在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，f(a)?f(b)?0，那么函数y?f(x)?x?D?在区间（a,b）内有零点，即存在c∈（a,b）使得f(c)=0，这个c也就是f(x)?0的根
注：在上面的条件下，（a,b）内的零点至少有一个c，还可能有其他根，个数不确定。 2、二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)的图象与零点的关系 二次函数△＞０ △＝０ △＜０ y=ax2+bx+c(a≠0)的图象 与x轴的交点 零点个数
3、二分法 （1）二分法的定义
对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)?f(b)?0的函数y?f(x)，通过不断地把函数
?x1,0??x2,0? 两个零点 ?x1,0? 一个零点 无交点 无零点 f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值
的方法叫做二分法。
（2）用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
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第一步，确定区间[a,b],验证f(a)?f(b)?0，给定精确度?； 第二步，求区间（a,b）的中点x1； 第三步，计算f(x1)：
①若f(x1)=0，则x1就是函数的零点；
②若f(a)?f(x1)?0，则令b?x1（此时零点x0?(a,x1)）； ③若f(x1)?f(b)?0，则令a?x1（此时零点x0?(x1,b)）；
第四步，判断是否达到精确度?：即若a?b??，则得到零点近似值a（或b）；否则重复第二、三、四步。
二、函数模型及其应用 1、几类函数模型及其增长差异 （1）几类函数模型 函数模型 一次函数模型 二次函数模型 指数函数模型 对数函数模型 幂函数模型 函数解析式 f(x)?ax?b(a,b为常数,a?0) f(x)?ax2?bx?c(a,b,c为常数,a?0) f(x)?bax?c(a,b,c为常数，a?0且a?1) f(x)?blogax?c(a,b,c,为常数a?0且a?1) f(x)?axn?b(a,b为常数，a?0) （2）三种增长型函数之间增长速度的比较 ①指数函数y?ax(a?1)与幂函数y?xn(n?0)
在区间?0,???上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内a会小于x，但由于
xnax的增长快于xn的增长，因而总存在一个x0，当x?x0时，有ax>xn。
②对数函数y?logax(a?1)与幂函数y?x（n?0）
对数函数y?logax(a?1)的增长速度，不论a与n值的大小如何总会慢于y?x的
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增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x0，使x?x0时有logax?xn。
由①②可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在?0,???上，总会存在一个x0，使x?x0时有ax?xn?logax
2、解函数应用问题的步骤（四步八字）
（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； （2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
（3）求模：求解数学模型，得出数学结论； （4）还原：将数学问题还原为实际问题的意义。 以上过程用图表示如下：
【热点、难点精析】
（一）函数与方程 1、零点的判定 ○相关链接○
（1）解方程：当能直接求解零点时，就直接求出进行判断。 （2）用定理：零点存在性定理。
注：如果函数y?f(x)在[a,b]上的图象是连续不断的曲线，且x0是函数在这个区间上的一个零点，但f(a)?f(b)?0不一定成立。
（3）利用图象的交点：有些题目可先画出某两个函数y?f(x)，y?g(x)图象，其交点的横坐标是f(x)?g(x)的零点。
○例题解析○
〖例〗判断下列函数在给定区间是否存在零点。
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?1?f?x??x2?3x?18,x??1,8?; ?2?f?x??log2?x?2??x,x??1,3?,
分析：第（1）问利用零点的存在性定理或直接求出零点，第（2）问利用零点的存在性定理或利用两图象的交点来求解。
解答：（1）方法一： f?1??12?3?1?18??20?0,f?8??82?3?8?18?22?0,?f?1??f?8??02
故f?x??x?3x?18,x?[1,8]存在零点。 方法二：
令f?x??0得x2?3x?18?0,x?[1,8]
??x?6??x?3??0,
?x?6??1,8?,x??3??1,8?,
故f?x??x?3x?18,x?[1,8]存在零点。
2（2）方法一：
?f?1??log23?1?log22?1?0,f?3??log25?3?log28?3?0,
? f?1??f?3??0,
故f?x??log2?x?2??x,x??1,3?存在零点
方法二：设y?log2?x?2?,y?x,在同一直角坐标系中画出它们的图象，从图象中可以看出当1?x?3时，两图象有一个交点，因此f?x??log2?x?2??x,x??1,3?存在零点。
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