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2、函数零点个数的判定 ○相关链接○
函数零点个数的判定有下列几种方法：
（1） 直接求零点：令f(x)=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点； （2） 零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连续的曲线，且
f(a)·f(b)<0。还必须结合函数的图象和性质（如单调性）才能确定函数有多少个零点。
（3） 画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，
就有几个不同的零点。
○例题解析○
2判断函数f(x)?4x?x?23x在区间??1,1?上零点的个数，并说明理由。 3分析：求f(1),f(?1)的值?判断函数在??1,1?上的单调性?函数零点个数。 解答：
?f(?1)??4?1?27213???0,f(1)?4?1???03333?f(x)在??1,1?上有零点。91?2(x?)2,229当?1?x?1时，0?f?(x)?，2?f(x)在??1,1?上是单调递增函数，又f?(x)?4?2x?2x2??f(x)在??1,1?上有只有一个零点。3、与二次函数有关的零点分布问题 ○相关链接○
设x1,x2是实系数一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)的两实根，下面为几类常见二
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次函数零点分布情况需满足于的条件： 根的分布（m?n?p且图象 满足的条件 m,n,p均为常数） x1?x2?m ???0?b??m ???2a??f(m)?0m?x1?x2 ???0?b??m ???2a??f(m)?0x1?m?x2 f(m)?0 x1,x2?(m,n) ???0?b?m???n? 2a??f(m)?0???f(n)?0?f(m)?0??f(n)?0 ?f(p)?0?m?x1?n?x2 只有一根在?m,n?之间 ○例题解析○
???0?或b?m???n?2a?f(m)?f(n)?0 〖例〗（1）m为何值时，f(x)=x2+2mx+3m+4①有且仅有一个零点；②有两个零点且均比-1大；
（2）若函数f(x)=|4x-x2|+a有4个零点，求褛a 取值范围。
分析：（1）二次函数结合图象求解，也可用方程思想求解；（2）利用函数图象求解。
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解答：（1）①若函数f(x)=x2+2mx+3m+4有且仅有一个零点，则等价于Δ=4m2-4(3m+4)=0,即4m2-12m-16=0,即m2-3m-4=0,解得m=4或m=-1
②方法一：方程思想
若f(x)有两个零点且均比-1大，设两零点分别为x1,x2,则x1+ x2=-2m, x1·x2=3m+4, 故
只
需
???4m2?4?3m?4??0?m2?3????或??m4???， ??m?2???2m???(x1?1)??x2?1??0?3m???m???m??5?4??(x?1)x?1?0????2?1故m的取值范围是?m|?5?m??1? 方法二：函数思想
若f(x)有两个零点且均比-1大，结合二次函数图象可知只需满足
???4m2?4?m3???2m??1??2?)0?f(?1????4?m2?3m?4?0?或4m??1?m??，故?5?m??1 ??m<1??m?1?1?2?m>-5m?m3??40??0∴m的取值范围是?m|?5?m??1?。
（2）若f(x)=|4x-x2|+a有4个零点，即4x-x2|+a=0有四个根，即|4x-x2|=-a有四个根，令g(x)= |4x-x2|,h(x)=-a.则作出g(x)的图象,
由图象可知要使|4x-x2|=-a有四个根，则g(x)与h(x)的图象应有4个交点。 故需满足0<-a<4,即-4
（1）在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升（自变量的系数大于0）或直线下降（自变量的系数小于0）；
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（2）有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等。一般利用函数图象的开口方向和对称轴与单调性解决，但一定要注意函数的定义域，否则极易出错。
○例题解析○
〖例〗某飞机制造公司一年中最多可生产某种型号的飞机100架。已知制造x架该种飞机的产值函数为R(x)=3000x-20x2 (单位：万元），成本函数
C（x)=500x+4000 (单位：万元）。利润是收入与成本之差，又在经济学中，函数?（x)的边际利润函数M?x)定义为：M?x)=?(x+1)-?(x).
①求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；（利润=产值-成本）
②问该公司的利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否具有相等的最大值？ 解：①P(x)= R(x)- C（x)= -20x2+2500x-4000 (x∈N*,且x∈[1,100])； MP(x)= P(x+1)- P(x)=-40x+2480(x∈N*,且x∈[1,100])；
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②P(x)= -20（x-）+74125 (x∈N*,且x∈[1,100])；则当x=62或63时，P（x)max=74120
2（元），因为MP(x) =-40x+2480为↘，则当x=1时，MP(x)max =2440元，故利润函数与边际利润函数不具有相等的最大值。
2、分段函数模型 ○相关链接○
（1）很多实际问题中变量间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数。如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数。
（2）分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起。要注意各段变量的范围，特别是端点值。
〖例1〗某同学从甲地以每小时6千米的速度步行2小时到达乙地，在乙地耽搁1小时后，又以每小时4千米的速度步行返回甲地。写出该同学在上述过程中，离甲地的距离S(千米)和时间t(小时)的函数关系式，并作出函数图象。
解答：
先考虑由甲地到乙地的过程： 0≤t≤2时，
y=6t
再考虑在乙地耽搁的情况： 2 y=12 欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱：zxjkw@163.com 第 9 页 共 21 页 知识改变命运，学习成就未来 最后考虑由乙地返回甲地的过程： 3 y=12－4(t－3) 所以S(t)= ?6t(0?t?2)??12(2?t?3)??4t?24(3?t?6)? 函数图象（略） 〖例2〗北京奥运会纪念章某特许专营店销售纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向北京奥组委交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x元。 （1）写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y（元）与每枚纪念章的销售价格x的函数关系式（并写出这个函数的定义域）。 （2）当每纪念章销售价格x为多少元时，该特许专营店一年内利润y（元）最大，并求出这个最大值。 分析：（1）利润=（售价-进价-管理费）×（销售的纪念章数），注意价格取值是分段的； （2）分段函数求最值时，要分段求，然后比较大小。 解答：（1）依题意 ????2000?400?20?x????x?7?y?????2000?100?x?20????x?7??即y??0?x?2020?x?40 ??400?25?x??x?7???100?40?x??x?7?0?x?20 20?x?40此函数的定义域为（0，40） ?400???x?16?2?81?????2（2）y????47?1089??100???x????24????????0?x?20 20?x?40当0 47时，ymax=27225（元）。 2综上可得当x=16 时，该特许专营店获得的利润最大为32400元。 欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱：zxjkw@163.com 第 10 页 共 21 页