知识改变命运，学习成就未来
注：分段函数是一类重要的函数，生活中很多实例都是分段函数模型，解决此类问题主要是构造分段函数，然后分步解决，构造分段函数时要力求准确、简捷，做到分段合理，不重不漏。
3、指数函数模型 ○相关链接○
指数函数模型的应用是高考的一个主要内容，常与增长率结合进行考查。在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以用指数函数模型来表示。通常可表示为
y?a?1?p?（其中a为原来的基础数，p为增长率，x为时间）的形式。
○例题解析○
〖例〗某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%,试解答下面的问题：
（1）写出该城市人口总数y（万人）与年份x（年）的函数关系式； （2）计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万人）；
（3）计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人（精确到1年）。 （1．01210=1．127，1.01215=1.196,1.01216=1.210）
分析：列出前几年该城市人口总数y与年份x的函数关系?观察规律，总结出y与x的函数关系?按要求求解（2）、（3）两小题
解答：（1）1年后该城市人口总数为y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%), 2年后该城市人口总数为
y=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)2×1.2%=100×(1+1.2%)2 同理，3年后该城市人口总数为：y=100×(1+1.2%)3 ????????
X年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)x(x∈N). （2）10年后人口总数为100×（1+1.2）10≈112.7(万)
（3）设x年后该城市人口将达到120万人，即100×（1+1.2%）x=120,x=log1.0121.20≈16（年）。
因此，大约16年以后城市人口将达到120万人。
注：高考数学试题中联系生活实际和生产实际的应用问题，其创意新颖，设问角度独特，解题方法灵活，一般文字叙述长，数量关系分散且难以把握。解决此类问题关键要认真
x欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱：zxjkw@163.com
第 11 页 共 21 页
知识改变命运，学习成就未来
审题，确切理解题意，进行科学的抽象概括，将实际问题纳为相应的数学问题，然后利用函数、方程、不等式等有关知识解答。
【感悟高考真题】
1、（2010上海文数）17.若（ D ）
（A）（0，1）. （B）（1，1.25）. （C）（1.25，1.75） （D）（1.75，2） 解析：
x0是方程式 lgx?x?2的解，则x0属于区间 [答]
771构造函数f(x)?lgx?x?2,由f(1.75)?f()?lg??0444
x f(2)?lg2?0知0属于区间（1.75，2）
1xx，x2x
2、（2010浙江文数）（9）已知x是函数f(x)=2+ 1?x的一个零点.若1∈（1，0）
∈（
x0，+?）
，则
x1)＜0，f(x2)＜0 （B）f(x1)＜0，f(x2)＞0 x1)＞0，f(x2)＜0 （D）f(x1)＞0，f(x2)＞0
（A）f(（C）f(
解析：选B，考察了数形结合的思想，以及函数零点的概念和零点的判断，属中档题
?3x,x?1,f(x)??32??x,x?1,若f(x)?2，则x? log3、（2009北京文）已知函数 .
【解析】5.u.c本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求x的值. 属于基础知识、基本
运算的考查.
?x?1?x?1?x?log2?x?33?2?x?2?x??2无解，故应填log32. 由?，?xe4、（2010天津文数）（4）函数f（x）=?x?2的零点所在的一个区间是
(A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1） (D) （1,2） 【答案】C
【解析】本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题。 因为f（0）=-1<0 f(1)=e-1>0,所以零点在区间（0，1）上，选C
【温馨提示】函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解。
欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱：zxjkw@163.com
第 12 页 共 21 页
知识改变命运，学习成就未来
5、（2010江苏卷）14、将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其
2(梯形的周长）中一块是梯形，记S?,则S的最小值是____▲____。
梯形的面积[解析] 考查函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解。
22(3?x)4(3?x)设剪成的小正三角形的边长为x，则：S???(0?x?1) 21331?x?(x?1)??(1?x)22（方法一）利用导数求函数最小值。
4(3?x)24(2x?6)?(1?x2)?(3?x)2?(?2x)，S?(x)? S(x)???222(1?x)31?x34(2x?6)?(1?x2)?(3?x)2?(?2x)4?2(3x?1)(x?3) ????2222(1?x)(1?x)331S?(x)?0,0?x?1,x?，
311当x?(0,]时，S?(x)?0,递减；当x?[,1)时，S?(x)?0,递增；
33故当x?1323时，S的最小值是。 33（方法二）利用函数的方法求最小值。
4t241111?2??令3?x?t,t?(2,3),?(,)，则：S?
86t323?t?6t?83???1t2t故当?1t31323,x?时，S的最小值是。 8336、（2010湖北理数）17．（本小题满分12分）
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=
k(0?x?10),若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。设f（x）为隔热层建造3x?5费用与20年的能源消耗费用之和。 （Ⅰ）求k的值及f(x)的表达式。
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值。
欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱：zxjkw@163.com
第 13 页 共 21 页
知识改变命运，学习成就未来
17.本小题主要考查函数、函数等基础知识,同时考查运用数学知识解决实际问题的能力.(满分12分)
解答:(I)设隔热层厚度为xcm,由题设,每年能源消耗费用为C(x)?k=40,因此C(x)?耗费用之和为
k.再由C(0)=8,得3x?540,而建造费用为C1(x)?60.最后得隔热层建造费用与20年能源消3x?540800?6x??6x(0?x?10) 3x?53x?5f(x)?20C(x)?C1(x)?20?(II)
2400240025?.令f(x)?0,即6=.解得x?5,x??(舍去).22(3x?5)(3x?5)3当0?x?5时，f?(x)?0,当5?x?10时，f?(x)?0,故x?5是f(x)的最小值点，f?(x)?6?800?70.15?5当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元.对应的最小值为f(5)?6?5?
7、（2009广东卷理）（本小题满分14分）
已知二次函数y?g(x)的导函数的图像与直线y?2x平行，且y?g(x)在x??1处取得
极小值m?1(m?0)．设
f(x)?g(x)x．
（1）若曲线y?f(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为2，求m的值； （2）k(k?R)如何取值时，函数y?f(x)?kx存在零点，并求出零点．
2g(x)?a(x?1)?m?1 (a?0)，则g'(x)?2a(x?1)?2ax?2a； 解：（1）依题可设
又
g??x?的图像与直线y?2x平行 ?2a?2 a?1
?g(x)?(x?1)?m?1?x?2x?m，
22f?x??g?x?m?x??2xx，
设
P?xo,yo?22|PQ|2?x0?(y0?2)2?x0?(x0?，则
m2)x0
欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱：zxjkw@163.com
第 14 页 共 21 页
知识改变命运，学习成就未来
m2?2x?2?2m?22m2?2m?22|m|?2mx0
20m22x?22x|PQ|0当且仅当时，取得最小值，即|PQ|取得最小值2
20当m?0时，当m?0时，
(22?2)m?2 解得m?2?1
(?22?2)m?2 解得m??2?1
my?fx?kx??k??x1????20?x （2）由
x?1?k?(x?0)，得
2?2x?m?0
?*?
?*?有一解
当k?1时，方程
x??mmx??2，函数y?f?x??kx有一零点2；
?*?有二解???4?4m?1?k??0，
当k?1时，方程
若m?0，
k?1?1m，
函数
y?f?x??kxk?1?x?有两个零点
?2?4?4m(1?k)1?1?m(1?k)x?2(1?k)k?1，即；
若m?0，
1m，
函数
y?f?x??kxx?有两个零点
?2?4?4m(1?k)1?1?m(1?k)x?2(1?k)k?1，即；
k?1?1m,
?*?有一解???4?4m?1?k??0,
当k?1时，方程
函数
y?f?x??kxx?有一零点
1??mk?1
x??m2；
y?f?x??kx综上，当k?1时, 函数有一零点
k?1?当
11k?1?m(m?0)，或m（m?0）时，
1?1?m(1?k)x?y?f?x??kxk?1函数有两个零点；
欢迎各位老师踊跃投稿，稿酬丰厚 邮箱：zxjkw@163.com
第 15 页 共 21 页