习题精选精讲
线面垂直的证明中的找线技巧
?
通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直
M为CC1 的中点，AC交BD于点O，求证：1 如图1，在正方体ABCD?A1BC11D1中，AO?平面MBD． 1A1M，∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1A?AC?A，
∴DB⊥平面A?平面A1ACC1 ∴DB⊥AO1ACC1，而AO1． 1323222设正方体棱长为a，则A1O?a，MO?a．
24922222AM?a 在Rt△AC中，．∵，∴MAO?MO?AM111114AO?OM． ∵OM∩DB=O，∴ AO11⊥平面MBD．
证明：连结MO，
评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明．
利用面面垂直寻求线面垂直
2 如图2，P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．求证：BC⊥平面PAC．
证明：在平面PAC内作AD⊥PC交PC于D．
因为平面PAC⊥平面PBC，且两平面交于PC，
?
AD?平面PAC，且AD⊥PC， 由面面垂直的性质，得AD⊥平面PBC． 又∵BC?平面PBC，∴AD⊥BC．
∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC． ∵AD∩PA=A，∴BC⊥平面PAC．
（另外还可证BC分别与相交直线AD，AC垂直，从而得到BC⊥平面PAC）．
评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一
条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直?线面垂直?线线垂直．
????线面垂直???????面面一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直?????性质性质判定判定垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们
应当学会灵活应用这些定理证明问题．下面举例说明．
3 如图１所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过求证：
A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于E，F，G．
AE?SB，AG?SD．
证明：∵SA?平面ABCD，
∴SA?BC．∵AB?BC，∴BC?平面SAB．又∵AE?平面SAB，∴
BC?AE．∵SC?平面AEFG，∴SC?AE．∴AE?平面SBC．∴AE?SB．同理可证AG?SD．
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评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化．
4 如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．
证明：取AB的中点Ｆ，连结CF，DF． ∵AC?BC，∴CF?AB．
∵AD?BD，∴DF?AB．
又CF?DF?F，∴AB?平面CDF． ∵CD?平面CDF，∴CD?AB． 又CD?BE，BE?AB?B， ∴CD?平面ABE，CD?AH．
∵AH?CD，AH?BE，CD?BE?E，
∴ AH?平面BCD． 评注：本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直．如此反复，直到证得结论．
5 如图３，AB是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA?平面ABC．若AE⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB上任意一点， 求证：平面AEF⊥平面PBC．
证明：∵AB是圆Ｏ的直径，∴AC∵PA∴PA??BC．
?平面ABC，BC?平面ABC，
BC．∴BC?平面APC．
∵BC?平面PBC，
∴平面APC⊥平面PBC．
∵AE⊥PC，平面APC∩平面PBC＝PC， ∴AE⊥平面PBC．
∵AE?平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC．
评注：证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线，即证线面垂直，而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线垂直的关系．
6. 空间四边形ABCD中，若AB⊥CD，BC⊥AD，求证：AC⊥BD
A D B O C
证明：过A作AO⊥平面BCD于O。?AB?CD，?CD?BO 同理BC⊥DO ∴O为△ABC的垂心 7. 证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D
于是BD?CO?BD?AC
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D1 C1 A1 B1 D C A B 证明：连结AC
?BD?AC
AC为A1C在平面AC上的射影
?BD?A1C
???A1C?平面BC1D同理可证A1C?BC1?
8. 如图，PA?平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分别是AB、PC的中点，求证：MN?AB
P N D C A M B .
1EN//DC2 证：取PD中点E，则
P E N D C A M B ?EN ?AE/
//AM/MN
9如图在ΔABC中， AD⊥BC， ED=2AE， 过E作FG∥BC， 且将ΔAFG沿FG折起，使∠A'ED=60°，求证:A'E⊥平面A'BC
CD?AE?又?CD?AD????CD?平面PAD??CD//AB??MN?ABPA?平面AC??AE?平面PAD? AE//MN??
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分析：弄清折叠前后，图形中各元素之间的数量关系和位置关系。 A'C 解：
∵FG∥BC，AD⊥BC D∴A'E⊥FG G∴A'E⊥BC
E设A'E=a，则ED=2a AB由余弦定理得： F2222
A'D=A'E+ED-2?A'E?EDcos60°=3a
222
∴ED=A'D+A'E∴A'D⊥A'E
∴A'E⊥平面A'BC
10如图, 在空间四边形SABC中, SA?平面ABC, ?ABC = 90?, AN?SB于N, AM?SC于M。求证: ①AN?BC; ②SC?平面ANM 分析:
①要证AN?BC, 转证, BC?平面SAB。
②要证SC?平面ANM, 转证, SC垂直于平面ANM内的两条相交直线, 即证SC?AM, SC?AN。要证SC?AN, 转证AN?平面SBC, 就可以了。 证明:
①∵SA?平面ABC
∴SA?BC 又∵BC?AB, 且AB?SA = A ∴BC?平面SAB ∵AN?平面SAB ∴AN?BC ②∵AN?BC, AN?SB, 且SB?BC = B ∴AN?平面SBC ∵SCC平面SBC ∴AN?SC 又∵AM?SC, 且AM?AN = A ∴SC?平面ANM
11已知如图，P?平面ABC，PA=PB=PC，∠APB=∠APC=60°，∠BPC=90 °求证：平面ABC⊥平面PBC
分析：要证明面面垂直，只要在其呈平面内找一条线，然后证明直线与另一平面垂直即可。显然BC中点D，证明AD垂直平PBC即可
证明：取BC中点D 连结AD、PD ∵PA=PB；∠APB=60° ∴ΔPAB为正三角形
同理ΔPAC为正三角形 设PA=a 在RTΔBPC中，PB=PC=a
BC=
2a ∴PD=
22
2
22a 在ΔABC中 AD=
2AB2?BD2
=
?2??2?2a???a?a∵AD+PD=?????2?2??2?AB//? =a=AP∴ΔAPD为直角三角形即AD⊥DP又∵AD⊥BC
22
∴AD⊥平面PBC
∴平面ABC⊥平面PBC 12. 如图，直角BAC在?外，
，
AC???C，求证：?BAC在?内射影?CA?B?为直角。
习题精选精讲 ABA＇C 证：如图所示，B＇α AA???、BB???，?B?A?C为射影。AA?//BB?确定平面???????AB?面AA?C???? ?????A?B????AB????AB//AB????AB?AA??AB//???AA??A?B? ??AB?AC?A?B??面CA?A?A?B??CA???CA?B?为直角 13 以AB为直径的圆在平面?内，PA??于A，C在圆上，连PB、PC过A作AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，试判断图中还有几组线面垂直。 PEFACB 解：???PA????PA?BC????BC?????BC?面PAC??AF?BC????AB为直径?AC?BC?AF?面PAC?AF?PC???AF?PB????AF?面PBC???PB??AE?PB??面AEF 两个平面垂直例题解析 1．在三棱锥A—BCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，△BCD是锐角三角形，那么必有（ ） A．平面ABD⊥平面ADC B．平面ABD⊥平面ABC C．平面ADC⊥平面BCD D．平面ABC⊥平面BCD
【解析】由AD⊥BC，BD⊥AD ?AD⊥平面BCD，面AD?平面ADC∴平面ADC⊥平面BCD．【答案】C 2．直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=AA1=a，则点A到平面A1BC的距离是（ ）
A．a B．2a C．a D．3a
【解析】取A1C的中点O，连结AO，∵AC=AA1，∴AO⊥A1C，又该三棱柱是直三棱柱．∴平面A1C⊥平面ABC．又
22∵BC⊥AC∴BC⊥AO，因AO⊥平面A1BC，即A1O等于A到平面ABC的距离．解得：A1O=
22a【答案】C