习题精选精讲
3．三个平面两两垂直，它们的三条交线交于一点O，P到三个面的距离分别是3，4，5，则OP的长为（ ） A．53 B．52 C．35 D．25
【解析】构造一个长方体，OP为对角线．【答案】B
4．在两个互相垂直的平面的交线上，有两点A、B，AC和BD分别是这两个平面内垂直于AB的线段，AC=6，AB=8，BD=24，则C、D间距离为_____．
【解析】如图，CD=CA?AD=CA?AB?BD=6?8?24=676=26
5．设两个平面α、β，直线l，下列三个条件：①l⊥α，②l∥β，③ α⊥β．若以其中两个作为前提，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中正确的命题个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0 【解析】①②?③，其余都错【答案】C 【典型例题精讲】
［例1］ 如图9—39，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC⊥平面BSC．
22222222
图9—39
【证明】∵SB=SA=SC，∠ASB=∠ASC=60°∴AB=SA=AC取BC的中点O，连AO、SO，则AO⊥BC，SO⊥BC，
∴∠AOS为二面角的平面角，设SA=SB=SC=a，又∠BSC=90°，∴BC=
2a，SO=
22a，
1AO2=AC2－OC2=a2－2a2，∴SA2=AO2+OS2，∴∠AOS=90°，从而平面ABC⊥平面BSC．
【评述】要证两平面垂直，证其二面角的平面角为直角．这也是证两平面垂直的常用方法． ［例2］如图9—40，在三棱锥S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．
1a2=2
图9—40
（1）求证：AB⊥BC；（2）若设二面角S—BC—A为45°，SA=BC，求二面角A—SC—B的大小．
习题精选精讲
（1）【证明】作AH⊥SB于H，∵平面SAB⊥平面SBC．平面SAB∩平面SBC=SB，∴AH⊥平面SBC， 又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，而SA在平面SBC上的射影为SB，∴BC⊥SB，又SA∩SB=S， ∴BC⊥平面SAB．∴BC⊥AB．
（2）【解】∵SA⊥平面ABC，∴平面SAB⊥平面ABC，又平面SAB⊥平面SBC，∴∠SBA为二面角S—BC—A的平面角，
∴∠SBA=45°．设SA=AB=BC=a，
作AE⊥SC于E，连EH，则EH⊥SC，∴∠AEH为二面角A—SC—B的平面角，而AH=
22a，AC=
2a，SC=3a，
AE=
63a
∴sin∠AEH=
【注】三垂线法是作二面角的平面角的常用方法．
［例3］如图9—41，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD=a，M、N分别是AB、PC的中点．
32，二面角A—SC—B为60°．
（1）求平面PCD与平面ABCD所成的二面角的大小；（2）求证：平面MND⊥平面PCD
（1）【解】PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，
∴PD⊥CD，故∠PDA为平面ABCD与平面PCD所成二面角的平面角，在Rt△PAD中，PA=AD， ∴∠PDA=45°
（2）【证明】取PD中点E，连结EN，EA，则EN CD AM，∴四边形ENMA是平行四边形，∴EA∥MN． ∵AE⊥PD，AE⊥CD，∴AE⊥平面PCD，从而MN⊥平面PCD，∵MN?平面MND，∴平面MND⊥平面PCD． 【注】 证明面面垂直通常是先证明线面垂直，本题中要证MN⊥平面PCD较困难，转化为证明AE⊥平面PCD就较简单了．另外，在本题中，当AB的长度变化时，可求异面直线PC与AD所成角的范围．
［例4］如图9—42，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、M、N分别是A1B1、BC、C1D1、B1C1的中点．
12
图9—42
（1）求证：平面MNF⊥平面ENF．（2）求二面角M—EF—N的平面角的正切值．
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（1）【证明】∵M、N、E是中点，∴EB1?B1N?NC1?C1M∴?ENB1??MNC1?45?
∴?MNE?90?即MN⊥EN，又NF⊥平面A1C1，MN?平面A1C1∴MN⊥NF，从而MN⊥平面ENF．∵MN 平面MNF，
∴平面MNF⊥平面ENF．
（2）【解】过N作NH⊥EF于H，连结MH．∵MN⊥平面ENF，NH为MH在平面ENF内的射影，
?∴由三垂线定理得MH⊥EF，∴∠MHN是二面角M—EF—N的平面角．在Rt△MNH中，求得MN=
22a，NH=
33a，
MN6?2∴tan∠MHN=NH6，即二面角M—EF—N的平面角的正切值为2．
［例5］在长方体ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为的中点，求证：平面D1EF⊥平面AB1C．
【证明】如图9—43，∵E、F分别是AB1、CB1的中点，
2的正方形，侧棱长为3，E、F分别是AB1、CB1
图9—43∴EF∥AC．∵AB1=CB1，O为AC的中点．∴B1O⊥AC．故B1O⊥EF．在Rt△B1BO中，∵BB1=
3，BO=1．
OB1=1（O1为BO与EF的交点）
∴△D1B1O1是直角三角形，即B1O⊥D1O1，∴B1O⊥平面D1EF．又B1O?平面AB1C，∴平面D1EF⊥平面AB1C．
1．棱长都是2的直平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，∠BAD=60°，则对角线A1C与侧面DCC1D1所成角的正弦值为_____．
【解】过A1作A1G⊥C1D1于G，由于该平行六面体是直平行六面体，∴A1G⊥平面D1C，连结CG，∠A1CG即为A1C与侧面DCC1D1所成的角．
1∴∠BB1O=30°，从而∠OB1D1=60°，又B1D1=2，B1O1=2
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∵A1G= A1 D1 ·sin∠A1 D1 G=2sin60°=2·
32=3而
AC=A1C=
AB2?BC2?2AB?BC?cos120?=
A1A2?AC2?4?12?4，
122?22?2?2?2?(?)?232∴
∴sin∠A1CG=
2．E、F分别是正方形ABCD的边AB和CD的中点，EF、BD相交于O，以EF为棱将正方形折成直二面角，则∠BOD=_____．
【解析】设正方形的边长为2a．
则DO2=a2+a2=2a2OB2=a2+a2=2a2DB2=DF2+FB2=a2+4a2+a2=6a2∴cos∠
A1G33?A1C4．【答案】4
2a2?2a2?6a21??2，∴∠DOB=120° DOB=2?2a?2a?3．如图9—44，已知斜三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长均为2，侧棱与底面成3的角，侧面ABB1A1垂直于底面，
图9—44
（1）证明：B1C⊥C1A．（2）求四棱锥B—ACC1A1的体积．
（1）【证明】过B1作B1O⊥AB于O，∵面ABB1A1⊥底面ABC，面ABB1A1?面ABC?AB∴B1O⊥面ABC，
?∴∠B1BA是侧棱与底面所成角，∴∠B1BA=3，又各棱长均为2，∴O为AB的中点，连CO，则CO⊥AB，而OB1∩CO=O，
∴AB⊥平面B1OC，又B1C?平面OB1C，∴B1C⊥AB，连BC1，∵BCC1B1为边长为2的菱形，∴B1C⊥BC1，而AB
∩BC1=B，
∴B1C⊥面ABC1∵A1C?面ABC1∴B1C⊥AC1
（2）【解】在Rt△BB1O中，BB1=2，BO=1，B1O=
3，V
柱
=Sh=
134·4·3=3，∴VB?A1B1C1=3V
柱
=1，
－B?A1B1C1=3－1=2
4．如图9—45，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PA⊥底面ABCD，E为AB的中点，且PA=AB．
柱
VB?AA1C1C=V
V
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图9—45
（1）求证：平面PCE⊥平面PCD；（2）求点A到平面PCE的距离．
（1）【证明】PA⊥平面ABCD，AD是PD在底面上的射影，
又∵四边形ABCD为矩形，∴CD⊥AD，∴CD⊥PD，∵AD∩PD=D∴CD⊥面PAD，∴∠PDA为二面角P—CD—B的平面角，∵PA=PB=AD，PA⊥AD∴∠PDA=45°，取Rt△PAD斜边PD的中点F，则AF⊥PD，∵AF ?面PAD ∴CD
⊥AF，又PD∩CD=D∴AF⊥平面PCD，取PC的中点G，连GF、AG、EG，则GF
12CD又AE
12CD，
∴GF AE∴四边形AGEF为平行四边形∴AF∥EG，∴EG⊥平面PDC又EG ?平面PEC，∴平面PEC⊥平面PCD． （2）【解】由（1）知AF∥平面PEC，平面PCD⊥平面PEC，过F作FH⊥PC于H，则FH⊥平面PEC ∴FH为F到平面PEC的距离，即为A到平面PEC的距离．在△PFH与 △PCD中，∠P为公共角，
FHPF?PC而∠FHP=∠CDP=90°，∴△PFH∽△PCD．∴CD，设AD=2，∴PF=
2，
63．
PC=
26?2?3PD2?CD2?8?4?23，∴FH=23∴A到平面PEC的距离为
5．已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形，对角线AC=2，BD=2
满足EC=BC=2FB．
3，E、F分别为棱CC1、BB1上的点，且
图9—46
（1）求证：平面AEF⊥平面A1ACC1；（2）求异面直线EF、A1C1所成角的余弦值．
（1）【证明】∵菱形对角线AC=2，BD=2
3∴BC=2，EC=2，FB=1，取AE中点M，连结MF，设BD与AC交于
点O，MO
12EC
FB?
平面AEF⊥平面ACC1A1