习题精选精讲
（2）在AA1上取点N，使AN=2，连结NE，则NE
AC
A1C1
故∠NEF为异面直线A1C1与EF所成的角，连结NF，在直角梯形NABF中易求得NF=
5，同理求得EF=5．
3?4?555?5，即EF与A1C1所成角的余弦值为5． 在△ENF中，cos∠NEF=2?2?5
【解题指导】在证明两平面垂直时，一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线；若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明，不能随意添加．在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直．解决这类问题的关键是熟练掌握“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”间的转化条件和转化应用．
【拓展练习】 一、备选题
1．如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC． （1）求证：平面PAC⊥平面PBC；
（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面．
（1）【证明】∵C是AB为直径的圆O的圆周上一点，AB是圆O的直径 ∴BC⊥AC；
又PA⊥平面ABC，BC?平面ABC， ∴BC⊥PA，从而BC⊥平面PAC． ∵BC ?平面PBC，
∴平面PAC⊥平面PBC． （2）【解】平面PAC⊥平面ABCD；平面PAC⊥平面PBC；平面PAD⊥平面PBD；平面PAB⊥平面ABCD；平面PAD⊥平面ABCD．
12．ABC—A′B′C′是正三棱柱，底面边长为a，D，E分别是BB′，CC′上的一点，BD＝2（1）求证：平面ADE⊥平面ACC′A′； （2）求截面△ADE的面积．
a，EC＝a．
习题精选精讲
（1）【证明】分别取A′C′、AC的中点M、N，连结MN， 则MN∥A′A∥B′B，
∴B′、M、N、B共面，∵M为A′C′中点，B′C′=B′A′，∴B′M⊥A′C′，又B′M⊥AA′且AA′∩A′C′=A′
∴B′M⊥平面A′ACC′． 设MN交AE于P，
a∵CE＝AC，∴PN＝NA＝2．
1又DB＝2a，∴PN＝BD．
∵PN∥BD， ∴PNBD是矩形，于是PD∥BN，BN∥B′M， ∴PD∥B′M．
∵B′M⊥平面ACC′A′，
∴PD⊥平面ACC′A′，而PD?平面ADE， ∴平面ADE⊥平面ACC′A′．
（2）【解】∵PD⊥平面ACC′A′，
∴PD⊥AE，而PD＝B′M＝AE＝
32a，
∴S△
2a． 1ADE＝2×AE×PD
2a?×
1＝2362a?a24．