第一节 相似三角形的判定及有关性质
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1．了解平行线截割定理．
2．会证明并应用直角三角形射影定理．
1．平行线的截割定理 (1)平行线等分线段定理
定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．
推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．
推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰． (2)平行线分线段成比例定理
定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例． 2．相似三角形的判定定理
(1)判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．
(2)判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． (3)判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似．
3．相似三角形的性质定理 (1)性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．
(2)推论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．
4．直角三角形相似的判定定理
(1)判定定理1：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似． (2)判定定理2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似． (3)判定定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
5．直角三角形射影定理
直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．
考点一 平行线截割定理的应用 [例1] (2014·广东高考节选)如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB＝2AE，△CDF的面积AC与DE交于点F，求的值．
△AEF的面积
△CDF的面积?CD?2?AB?2
[听前试做] 由CD∥AE，得△CDF∽△AEF，于是＝＝＝9.
△AEF的面积?AE??AE?
方法规律
平行线截割定理的作用
平行线截割定理一方面可以判定线段成比例；另一方面，当不能直接证明要证的比例成立时，常用这个定理将两条线段的比转化为另外两条线段的比．
如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，E，F分别为AD，BC上的点，且EF＝3，EF∥AB，求梯形ABFE与梯形EFCD的面积比．
1
解：由CD＝2，AB＝4，EF＝3，得EF＝(CD＋AB)，所以EF是梯形ABCD的中位线，
2
11
则梯形ABFE与梯形EFCD有相同的高，设为h，则S梯形ABFE∶S梯形EFCD＝(3＋4)h∶(2＋3)h
22＝7∶5.
考点二
[例2] (2015·沈阳模拟)如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.
相似三角形的判定与性质
证明：(1)∠FEB＝∠CEB； (2)EF2＝AD·BC.
[听前试做] (1)由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB. π由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝；
2π
又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝，
2从而∠FEB＝∠EAB. 故∠FEB＝∠CEB.
(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边， 得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF. 类似可证：Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF. 又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF， 所以EF2＝AD·BC.
方法规律
与相似三角形的定理和性质有关的问题的常见类型及解题策略
(1)证明线段成比例(或线段之积相等)．利用已知条件证明三角形相似，即可得出结论． (2)证明角相等．先确定两个角所在的三角形，然后证明三角形相似，进而得出角相等． (3)求线段长．可转化成(1)，再利用已知条件求线段长．
(2015·长春模拟)如图所示，在△ABC中，AB＝AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC的延长线于点D.
PCPD(1)求证：＝；
ACBD
(2)若AC＝3，求AP·AD的值．
证明：(1)因为∠CPD＝∠ABC，∠PDC＝∠PDC， 所以△DPC∽△DBA，所以
PCPD
＝. ABBD
PCPD
又AB＝AC，所以＝.
ACBD
(2)因为∠ABC＋∠APC＝180°，∠ACB＋∠ACD＝180°， ∠ABC＝∠ACB， 所以∠ACD＝∠APC.
APAC
又∠CAP＝∠DAC，所以△APC∽△ACD，所以＝，
ACAD所以AP·AD＝AC2＝9. 考点三
[例3] (2015·太原模拟)如图所示，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于点D，BEDFAE是∠ABC的角平分线，交AD于点F，求证：＝. AFEC
射影定理及其应用
[听前试做] ∵BE是∠ABC的角平分线， ∴
DFBD
＝，① AFAB
AEAB＝.② ECBC
在Rt△ABC中，由射影定理知，
BDAB
AB2＝BD·BC，即＝.③
ABBCDFAB
由①③得＝，④
AFBCDFAE
由②④得＝. AFEC
方法规律
巧用射影定理解题
已知条件中含直角三角形，且涉及直角三角形斜边上的高时，应首先考虑射影定理，注意射影定理与斜边的对应法则，根据题目中的结论分析并选择射影定理中的等式，并分清比例中项．
如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. 求证：AE·AB＝AF·AC.
证明：∵AD⊥BC， ∴△ADB为直角三角形，
又∵DE⊥AB，由射影定理知，AD2＝AE·AB. 同理可得AD2＝AF·AC，
∴AE·AB＝AF·AC.
———————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————
?2个注意点——运用平行线分线段成比例定理的注意点
(1)平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例，在运用平行线分线段成比例定理时要注意平行线的不同位置，以及在三角形与四边形中的灵活应用．
(2)证明线段成比例，若已知条件中没有平行线，但有三角形相似的条件(如角相等，有相等的比例式等)，常考虑相似三角形的性质构造比例或利用中间比求解．