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如图，已知圆上的弧AC＝BD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点．求证：
(1)∠ACE＝∠BCD； (2)BC2＝BE·CD.
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证明：(1)因为AC＝BD，所以∠BCD＝∠ABC.又因为EC与圆相切于点C，根据弦切角定理知∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.
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(2)因为∠ECA等于AC上的圆周角，∠ACB等于AB上的圆周角，所以∠ECB等于CAB上BCCD的圆周角，故∠ECB＝∠CDB，又由(1)知∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB，故＝，BEBC即BC2＝BE·CD.
考点二 圆内接四边形的判定及性质 [例2] (2015·临汾模拟)如图所示，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B，C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点．
(1)证明：A，P，O，M四点共圆； (2)求∠OAM＋∠APM的大小．
[听前试做] (1)如图所示，连接OP，OM.
因为AP与⊙O相切于点P，所以OP⊥AP. 因为M是⊙O的弦BC的中点，所以OM⊥BC. 于是∠OPA＋∠OMA＝180°.
由于圆心O在∠PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O，M四点
共圆．
(2)由(1)得A，P，O，M四点共圆，所以∠OAM＝∠OPM.
由(1)得OP⊥AP.由圆心O在∠PAC的内部可知∠OPM＋∠APM＝90°，所以∠OAM＋∠APM＝90°.
方法规律
证明四点共圆的常用方法
(1)利用圆内接四边形的判定定理，证明四点组成的四边形的对角互补； (2)证明它的一个外角等于它的内对角； (3)证明四点到同一点的距离相等．
当证明四点共圆以后，圆的各种性质都可以得到应用．
已知D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2－14x＋mn＝0的两个根．
(1)证明：C，B，D，E四点共圆；
(2)若∠BAC＝90°，且m＝4，n＝6，求点C，B，D，E所在圆的半径．
解：(1)证明：如图所示，连接DE，根据题意，在△ADE和△ACB中，AD·AB＝mnADAE
＝AE·AC，即＝，
ACAB
又∠DAE＝∠CAB， 从而△ADE∽△ACB.
因此∠ADE＝∠ACB.所以C，B，D，E四点共圆．
(2)当m＝4，n＝6时，方程x2－14x＋mn＝0的两根为x1＝2，x2＝12.
故AD＝2，AB＝12.取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于点H，连接DH.
因为C，B，D，E四点共圆，
所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH. 由于∠BAC＝90°，
1
故GH∥AB，HF∥AC，HF＝AG＝5，DF＝×(12－2)＝5，DH＝HF2＋DF2＝52＋522＝52，
故C，B，D，E四点所在圆的半径为52. 考点三 [例3] (2014·湖南高考节选)如图，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB＝3，BC＝22，求⊙O的半径．
与圆有关的比例线段问题
[听前试做]
设AO，BC的交点为D，由已知可得D为BC的中点，则在直角三角形ABD中，AD＝AB2－BD2＝1，设圆的半径为r，延长AO交圆O于点E，由圆的相交弦定理可知BD·CD3＝AD·DE，即(2)2＝2r－1，解得r＝.
2
方法规律
与圆有关的比例线段问题的常见类型及解题策略
(1)证明比例线段(或线段乘积)．利用相交弦定理或切割线定理证明．
(2)求线段的长度．可依题已知条件、相交弦定理或切割线定理找到比例线段，进而求线
段长度．
(3)证明三角形相似．可依题设及相交弦定理、切割线定理找到三角形相似的条件即可证明．
(2013·天津模拟)如图，PA是圆O的切线，
切点为A，PA＝2，AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB＝1，求圆O的半径R. PA24解：由切割线定理可得：PA＝PB·PC，即PC＝＝＝4，
PB1
2
所以BC＝PC－PB＝3，因为AC是圆O的直径， 所以∠ABC＝90°，所以AB2＝BC·PB＝3. AC2＝BC2＋AB2＝9＋3＝12，即AC＝2R＝23，
所以R＝3.
—————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————
?2个结论——直线与圆位置关系的两个相关结论
(1)切点与圆心的连线与圆的切线垂直；过切点且与圆的切线垂直的直线过圆心； (2)相离两圆的内公切线夹在外公切线间的线段长等于两圆外公切线的长． ?2种思路——解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路 (1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；
(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换．
1.(2013·江苏高考)如图所示，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC＝2OC.求证：AC＝2AD.
证明：连接OD.因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，
所以∠ADO＝∠ACB＝90°. 又因为∠A＝∠A， 所以Rt△ADO∽Rt△ACB.
BCAC
所以＝.又BC＝2OC＝2OD，
ODAD故AC＝2AD.
2.(2014·辽宁高考)如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG＝PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.
(1)求证：AB为圆的直径； (2)若AC＝BD，求证：AB＝ED.
证明：(1)因为PD＝PG，所以∠PDG＝∠PGD. 由于PD为切线，故∠PDA＝∠DBA， 又由于∠PGD＝∠EGA，故∠DBA＝∠EGA， 所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，
从而∠BDA＝∠PFA.由于AF⊥EP，所以∠PFA＝90°，于是∠BDA＝90°，故AB是直径．
(2)连接BC，DC.
由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°.