?1个技巧——等积式证明方法
证明等积式，化成比例式，用分子、分母四个字母构造三角形，或等号同侧四个字母构造三角形，证此两三角形相似．不能构成三角形或三角形不相似需转化．
BE3
如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，DE∥AC，EF⊥BC， ＝，BD＝6，求FC
EA2的长．
6－FD3BE312
解：由DE∥AC，＝，BD＝6，知DC＝4.又EF∥AD，故＝，解得FD＝，
EA2FD2532
故FC＝FD＋DC＝. 5
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2.(2015·南阳模拟)如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE＝AC，BD＝AB，
331
点F在BC上，且CF＝BC.求证：
3
(1)EF⊥BC；
(2)∠ADE＝∠EBC.
证明：设AB＝AC＝3a，则AE＝BD＝a，CF＝2a. CE2a2CF2a2(1)＝＝，＝＝. CB32a3CA3a3又∠C为公共角， 故△BAC∽△EFC，
由∠BAC＝90°，∴∠EFC＝90°，∴EF⊥BC. (2)由(1)得EF＝2a，
故∴
AEa2AD2a2＝＝，＝＝， EF2a2FB22a2AEAD
＝，∵∠DAE＝∠BFE＝90°， EFFB
∴△ADE∽△FBE， ∴∠ADE＝∠EBC.
3．(2015·哈尔滨模拟)如图，已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，E是AC的中ABDF点，ED交AB的延长线于F.求证：＝. ACAF
证明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝∠BAC＝90°， ∴∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠C＝90°. ABBD
∴∠1＝∠C.∴△ABD∽△CAD，∴＝.
ACAD又∵E是AC的中点，∴DE＝EC，∴∠3＝∠C. 又∵∠3＝∠4，∠1＝∠C， ∴∠1＝∠4. 又∠F＝∠F， ∴△FBD∽△FDA， ∴
BDDFABDF＝，∴＝. ADAFACAF
4.在△ABC中，∠BAC＝90°，BC边的垂直平分线EM和AB以及CA的延长线分别交于D、E，连接AM，求证：AM2＝DM·EM.
证明：∵∠BAC＝90°，M是BC边的中点，∴AM＝CM，∠MAC＝∠C， 又∵EM⊥BC，∴∠E＋∠C＝90°， 又∵∠BAM＋∠MAC＝90°， ∴∠E＝∠BAM.
又∵∠EMA＝∠AMD，∴△AMD∽△EMA. ∴
AMEM
＝， DMAM
∴AM2＝DM·EM.
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5.如图所示，在平行四边形ABCD中，E是CD的延长线上一点，DE＝CD，BE与AD
2交于点F.
(1)求证：△ABF∽△CEB；
(2)若△DEF的面积为2，求平行四边形ABCD的面积． 解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAF＝∠BCD，AB∥CD， ∴∠ABF＝∠CEB， ∴△ABF∽△CEB.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD，
∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF. S△DEF?DE?2S△DEF?DE?2∴＝，＝. S△CEB?CE?S△ABF?AB?11
又DE＝CD＝AB，
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∴CE＝DE＋CD＝DE＋2DE＝3DE. S△DEF?DE?21S△DEF?DE?21
∴＝＝，＝＝. S△CEB?CE?9S△ABF?AB?4∵S△DEF＝2，∴S△CEB＝18，S△ABF＝8.
∴平行四边形ABCD的面积S＝S△ABF＋S△CEB－S△DEF＝8＋18－2＝24.
第二节 直线与圆的位置关系
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1．会证明并应用圆周角定理，圆的切线的判定定理与性质定理．
2．会证明并应用相交弦定理，圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理．
1．圆周角
(1)定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角一半． (2)推论1：①同弧或等弧所对的圆周角相等． ②同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．
(3)推论2：①半圆(或直径)所对的圆周角是直角． ②90°的圆周角所对的弦是直径． 2．圆的切线
(1)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． (2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．
(3)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
3．弦切角定理及其推论
(1)定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半． (2)推论：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 4．圆中的比例线段
(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，每条弦被交点分成的两条线段长的积相等． (2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，该点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．
(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.
?对应学生用书P213
考点一
[例1] (1)(2014·湖北高考节选)如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B.过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点．若QC＝1，CD＝3，求PB的长．
(2)(2014·重庆高考节选)过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点)，再作割线PBC分别交圆于B，C.若PA＝6，AC＝8，BC＝9，求AB的长．
圆周角及弦切角的性质
[听前试做] (1)由切割线定理，得QA2＝QC·QD＝4?QA＝2，则PB＝PA＝2QA＝4. (2)
如图所示，由切割线定理得PA2＝PB·PC＝PB·(PB＋BC)，即62＝PB·(PB＋9)，解得PB＝3(负值舍去)．由弦切角定理知∠PAB＝∠PCA，又∠APB＝∠CPA，故△APB∽△CPA，则
ABAPAB6＝，即＝，解得AB＝4. CACP83＋9
方法规律
圆周角、弦切角定理的作用
圆周角定理与弦切角定理多用于证明角的关系，从而证明三角形全等或相似，也可用于求线段长或角的大小及与圆的切线有关的问题．