第 九 章 表面现象
2. 298 K时，将直径为1 ?m 的毛细管插入水中，问需要加多大压力才能防止水面上升？（已知：298 K时水的表面张力为 72.14×10-3 N·m-1，密度ρ=0.997×103 kg·m-3。）
解：防止水面上升需要加的压力，就等于毛细管中水形成弯月面的附加压力，即：
2?2?71.97?10?3N?m?15?2 ps???2.88?10N?m=288 kPa
R'0.5?10?6m3. 在一封闭容器底上钻一个小孔，将容器浸入水中至深度 0.40 m 处，恰可使水不浸入孔中。设 298 K 时，水的表面张力为 72.14×10-3 N·m-1，密度ρ=0.997×103 kg·m-3，求孔的半径。
解：容器浸入水中深度处的水的静压力，恰好等于小孔处弯曲液面的附加压力，这时水才不会浸入孔中。即
?gh?'2?R'
2?2?7.214?10?2N?m?1?5R???3.69?10m 3?3?2?gh1.0?10kg?m?9.8m?s?0.40m4. 293 K 时，将直径为1×10-3 m 的毛细管插入汞液中，则汞在毛细管中下降了多少？已知293 K 时，汞的表面张力为 0.4865 N·m-1，与管壁的接触角为150°，汞的密度为 1.35×10 4 kg·m-3。. 解：根据附加压力的计算公式：
'2???gh R''汞在毛细管中曲面的曲率半径R与毛细管半径R之间的关系为：Rcos??R ，则
2?cos?2?0.4685N?m?1cos150oh????0.013 m 4?3?2?3?gR1.35?10kg?m?9.8m?s?0.5?10m汞在毛细管中下降0.013 m
5. 室温时，将半径为 1×10-4 m 的毛细管插入水—苯两层液体间。水在毛细管内上升至弯液面的高度为 4×10-2 m，玻璃-水-苯的接触角是 40°(cos? = 0.76)，且水和苯的密度分别是 1×103和 8×102 kg·m-3，求水与苯间的界面张力为多少？
解：由于水能润湿毛细管，水在毛细管内呈弯月面，附加压力使水在毛细管内上升。毛细管内是水，毛细管外是苯，这时达到平衡时的力平衡为：
ps?2?苯?水cos????gh?(?水??苯)gh
R(?水??苯)ghR2cos?
?苯?水?第 九 章 表面现象
(1.0?0.8)?103kg?m?3?9.8m?s?2?4?10?2m??5.16?10?3N?m?1
2?0.766. 已知水在 293 K 时的表面张力? = 0.07288N·m-1， 摩尔质量 M = 0.018 kg·mol-1 ，密度 ? = 0.998×103 kg·m-3。273 K 时水的饱和蒸气压为 610.5 Pa，在 273～293 K 温度区间内，水的摩尔气化热 ?vapHm= 40.67 kJ·mol-1，求 293 K 水滴半径 R′= 10-9 m时，水的饱和蒸气压。
解： 首先计算293 K 时水的饱和蒸气压，这要运用Clausius-Clapeyron 方程
lnp2?vapHm?p1R?11???? ?T1T2?lnp240670?11????? p2?2074 Pa
610.5Pa8.314?273293?然后利用Kelvin 公式计算293 K 时，半径为 10-9 m时的水滴面上的饱和蒸气压
lnp22?M?p0RT?R'?
p22?0.07288N?m?1?0.018kg?mol?1ln?2074Pa8.314J?mol?1?K?1?293K?10?9m?0.998?103kg?m?3
p2?6101Pa
7. 如果肥皂水的表面张力为 0.050 N·m-1，求下列肥皂泡上所受到的附加压力为多少？
（1）肥皂泡的直径为 2 mm； （2）肥皂泡的直径为 2 cm。
解：肥皂泡有内外两个表面，忽略泡壁的厚度，故肥皂泡所受到的附加压力是相同半径液面的两倍，则
2?2?2?2?0.050N?m?1?2??200 N?m?200 Pa （1）ps?'?3R1?10m2?2?2?2?0.050N?m?1??20 N?m?2?20 Pa （2）ps?'?2R1?10m可见，肥皂泡的曲率半径越小，附加压力越大。
8. 已知在 298 K 时，水在平面上的饱和蒸气压为 3167 Pa。请计算在相同温度下，半径为2 nm 的水滴表面的蒸气压为若干？设水的摩尔质量为 18.×10-3 kg·mol-1，密度为0.997×103 kg·m-3，水的表面张力为 0.07214 N·m-1。
解： 利用Kelvin 公式，计算298 K 时，半径为 2 nm 的水滴面上的饱和蒸气压
第 九 章 表面现象
lnp2?M?p0RT?R'?
lnp2?0.07214?0.018??0.526 ?933167Pa8.314?298?2?10?0.997?10p?5357Pa
9. 在 298 K时, 在水中有一个半径为0.9nm 的蒸汽泡, 求泡内的蒸气压。已知298 K 时，水的饱和蒸气压为3167 Pa ，水的摩尔质量为 0.018 kg·mol-1，密度为 997 kg·m-3, ?0 = 0.07214J·m-2。
解：利用Kelvin 公式，计算298 K 时，半径为 9×10-10 m 的蒸气泡内的蒸气压。因为蒸气泡内壁是凹面，曲率半径取负值，
lnp2?M?p0RT?R'?
lnp2?0.07214?0.018???1.1682
3167Pa8.314?298?(?9?10?10)?997 p = 984.7Pa?
从计算可知，小蒸气泡内的蒸气压远小于水平面上的饱和蒸气压。
10. 一根毛细管插在某液体中, 毛细管内液体上升 1.5×10-2 m 。如果把这根毛细管插入表面张力为原液体表面张力的一半、密度也为原液体密度一半的另一液体中, 则毛细管内液面上升多高? 假若该毛细管在上述两种液体的接触角?? 均为零。
解： 根据附加压力的计算公式：
h1?2?12?2 h?2?1gR'?2gR'
两式相比：
h1?1?12?22?2?==1 h2?h1?1.5?10?2 m h2?2?2?2?2毛细管内液面上升的高度相同。
11. 一个用透气多孔耐火砖制成的盛钢液的容器，如果要在该容器中盛钢液的高度为2 m，底部透气多孔砖的毛细孔半径应控制为多少，才能使钢液不漏? 已知钢液的 ? =1.3 N·m-1 ， ? =7000 kg·m-3 ，钢液对耐火材料的接触角? =150°。
解：钢液对耐火材料的接触角大于90°，说明钢液不能润湿耐火砖，钢液在毛细孔内呈凸面。当多孔砖的毛细孔内，钢液的附加压力小于钢液的静压力时，钢液就不会渗漏。
第 九 章 表面现象
钢液的附加压力为：
ps?2?co?sR 钢液的静压力为：
?gh
2?cos????1.64?10m ?3?2?gh7000kg?m?9.8m?s?2m即：
?5 R<1.6?410m
当多孔砖的毛细孔半径小于1.64×10-5 m ，钢液就不会漏出。
12. 已知在300K时纯水的饱和蒸汽压ps=3.529kPa，密度ρ=997 kg·m-3，表面张力? =0.0718 N·m-1。在该温度下：
（1）将半径 r1= 5.0×10-4m的洁净玻璃毛细管插入纯水中，管内液面上升的高度为h=2.8m，，试计算
水与玻璃之间的接触角；
（2）若玻璃毛细管的半径为r2= 2nm，求水蒸气在该毛细管中发生凝聚的最低压力。
解：（1）由于水能润湿毛细管，水在毛细管内呈弯月面，附加压力使水在毛细管内上升。最终达到平衡：
ps?2?水cos????gh?(?水??g)gh??水gh
R
?水ghR997 kg?m?3?9.8m?s?2?0.028m?5.0?10-4mcos??==0.9526 ?12?水2?0.0718N?mθ =17.7?
（2）利用Kelvin 公式，计算300 K 时，半径为 2.0 nm 的水滴面上的饱和蒸气压
lnpr2?M ?p0RT?R'?
pr2?0.0718?0.018?Cos17.7?ln??-0.495
?93.529kPa8.314?300??-2?10??997
p?2.151kPa
13. 假设稀油酸钠水溶液的表面张力 ???与浓度呈线性关系：? = ?0- ba， 其中?0 为纯水的表面张力，b为常数，a是溶质油酸钠的活度。已知 298 K 时，?0= 0.07214 N·m-1，测得该溶液表面吸附油酸钠的吸附超量 ?2= 4.33×10-6 mol·m-2，试计算该溶液的表面张力?。 解： 根据Gibbs 吸附公式
?2???RTad?d? ??2RTdadaa
第 九 章 表面现象
根据已知条件，
?RTd???b 则 b?2daa
代入表面张力?与浓度的线性关系式：
???0?ba
???0??2RT?(0.072?4.33?10?6?8.314?298)N?m?1?0.061 N?m?1
14. 在293K时，苯酚水溶液的质量摩尔浓度分别为0.05mol·kg-1和0.127 mol·kg-1，其对应的表面张力分别为0.0677 N·m-1和0.0601 N·m-1。请计算浓度区间分别为0～0.05mol·kg-1和0.05～0.127 mol·kg-1的平均表面超额?2。已知水在该温度下的表面张力? =0.0729 N·m-1，设苯酚水溶液的活度因子都等于1，活度与浓度的数值相同。
解：因为是稀溶液，设活度因子为1，表面张力随浓度的增加而线性下降，Gibbs 吸附公式可表示为：
0.05mol?kg?1：?2??c2d?c?? =?2 RTdc2RT?c
0.05mol?kg?1(0.0677-0.0729)N?m?1???=2.134?10?6mol?m?2 ?1?18.314J?mol?K?293K0.05mol?kg同理可求：0.127mol?kg?1：?2??c2d?c?? =?2
RTdc2RT?c0.127mol?kg?1(0.0677-0.0601)N?m?1???=5.146?10?6mol?m?2 ?1?18.314J?mol?K?293K?0.05-0.127?mol?kg则：0～0.05mol·kg-1的平均表面超额?2（1）为：
?2.134?10?6+0?mol?m?2 2=1.067?10?6mol?m?2
同理可求：0.05～0.127 mol·kg-1的平均表面超额?2（2）为：
?2.134?10?6+5.146?10?6?mol?m?2 2=3.64?10?6mol?m?2
15. 在298K时，某表面活性剂B的稀水溶液，在浓度cB<0.050mol·dm-3的范围内，其表面张力随浓度的增加而线性下降符合如下公式：
?/?N?m?1??0.07214?0.350?cB/c??
（1）导出表面超额? B与浓度的关系式； （2）计算cB=0.010mol·dm-3时的表面超额? B。 解：（1）根据Gibbs 吸附公式