解技巧 三角形三边关系的应用 ①当线段a，b，c满足最短的两条线段之和大于最长的线段时就可构成三角形；②已知两条线段，可根据第三条线段大于这两边之差，小于这两边之和，来确定第三条线段的取值范围．
【例7－1】 以下列长度的三条线段为边，能组成三角形吗？
(1)6 cm,8 cm,10 cm；
(2)三条线段长之比为4∶5∶6； (3)a＋1，a＋2，a＋3(a＞0)．
分析：根据三角形的三边关系来判断已知的三条线段能否组成三角形，选择较短的两条线段，看它们的和是否大于第三条线段，即可判断能否组成三角形．
解：(1)因为6＋8＞10，所以长为6 cm,8 cm,10 cm的三条线段能组成三角形；
(2)设这三条线段长分别为4x,5x,6x(x＞0)，因为4x＋5x大于6x，所以三条线段长之比为4∶5∶6时，能组
成三角形；
(3)因为a＋1＋a＋2＝2a＋3，当a＞0时，2a＋3＞a＋3，所以a＋1，a＋2，a＋3(a＞0)长的线段能组成三角形．
【例7－2】 已知三角形的两边长分别为5 cm和8 cm，则此三角形的第三边的长x的取值范围是__________．
解析：根据三角形三边关系可知，第三条边的长x应大于已知两边之差且小于已知两边之和，所以3 cm 答案：3 cm 8.三角形的高、中线、角平分线的画法 三角形是最基本的图形，也是应用最多的图形，因此画出它们高、中线、角平分线经常用到，是必须掌握的基本技能． (1)高的画法：类似于垂线的画法，用三角板过某一顶点向对边或对边延长线画垂线，交对边于一点，所得到的垂线段就是这条边上的高． (2)中线的画法：取一边中点，连接 这点和这边相对的顶点的线段，就是所求中线． (3)角平分线的画法：类似于画角平分线，作三角形一个角的平分线，交对边于一点，这点和角的顶点之间的线段就是所求的角平分线． 9．三角形高的应用 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高． 因为三角形的高是通过作垂线得到的，既有直角，又有垂线段，因此它的应用方向主要有两方面：一是求面积问题，高是垂线段，也是点到直线的距离，是求三角形的面积所必须知道的长度；二是直角，高是垂线段，因而一定有直角，根据所有直角都相等或互余关系进行解题是三角形的高应用的另一方向． 解技巧 巧证直角背景下两锐角相等 图形中含有高时，经常用“同角(或等角)的余角相等”来证明角相等，这既是一种方法，也是一个规律． 【例8】 如图(1)，已知△ABC，画出△ABC中，BC边上的高、中线和∠BAC的平分线． 图(1) 图(2) 分析：因为三角形的高、中线、角平分线都是描述性定义，它们的定义就蕴含了它们的画法，根据总结的画法画出图形即可，如图(2)． 解：画法如下： (1)过A作BC的垂线，垂足为D，AD即为BC边上的高； (2)取BC的中点E，连接AE，AE即为BC边上的中线； (3)作∠BAC的平分线，交BC于点F，连接AF，AF即为△ABC中∠BAC的平分线． 【例9】 如图，在△ABC中，AD，BE分别是边BC，AC上的高，试说明∠DAC与∠EBC的关系． 分析：因为有三角形中的高就有垂直、直角，所以∠ADC，∠BEC都是直角．根据小学所学三角形的内角和为180°，所以∠DAC＋∠C＝90°，∠EBC＋∠C＝90°，根据同角的余角相等，即可得出∠DAC＝∠EBC. 解：∠DAC＝∠EBC. 因为AD，BE分别是边BC，AC上的高， 所以∠ADC＝90°，∠BEC＝90°. 所以∠DAC＋∠C＝90°，∠EBC＋∠C＝90°. 所以∠DAC＝∠EBC. 10．三角形中线应用拓展 三角形的中线是三角形中的一条重要线段，它最大的特点是已知三角形的中线，图中一定含有相等线段，由此延伸出中线的应用： (1)面积问题：三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形，如图，在△ABC中， 1 AD是BC边上的中线，则S△ABD＝S△ACD＝S△ABC. 2 因为BD＝CD，△ABD和△ADC等底同高，所以面积相等，因此通过作三角形的中线可将三角形分成面积相等的两部分． (2)周长问题：如图所示，AD是BC边上的中线，△ABD和△ACD的周长之差实质上就是AB与AC的差，这也是三角形中线中常出现的问题．