【例10】 有一块三角形优良品种试验基地，如图所示，由于引进四个优良品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的划分方案供选择(画图说明)．
分析：根据三角形中线将三角形分为面积相等的两部分的特征，先把原三角形分为两个面积相等的三角形，然后再依次等分．
解：答案不唯一，如方案1：如图(1)，在BC上取点D，E，F，使BD＝DE＝EF＝FC，连接AD，AE，AF.
方案2：如图(2)，分别取AB，BC，CA的中点D，E，F，连接DE，EF，DF.
方案3：如图(3)，分别取BC的中点D、CD的中点E、AB的中点F，连接AD，AE，DF.
方案4：如图(4)，分别取BC的中点D、AB的中点E、AC的中点F，连接AD，DE，DF.
11.等腰三角形中的三边关系
等腰三角形是特殊的三角形，它最大的特点是两条边相等，所以反映在三边关系中，就是底与腰的关系：①只要两腰之和大于底就一定能构成三角形；②在等腰三角形中，底的取值范围是大于0且小于两腰之和．
因为等腰三角形的特殊性，所以在涉及等腰三角形问题时，只要不明确哪是底，哪是腰，就必须分情况讨论，并且要验证是否能构成三角形．如一个等腰三角形的两边长是2 cm和5 cm，它的周长是多少？
情况一：当腰是2 cm底是5 cm时，因为2＋2<5，两边之和小于第三边，所以此等腰三角形不存在；
情况二：当腰是5 cm底是2 cm时，5＋2＞5，所以此等腰三角形存在，此时周长为12 cm.
解技巧 利用三边关系求等腰三角形的边长 根据两边之和大于第三边，结合底和腰的关系先判断等腰三角形是否存在是求解的前提．
【例11－1】 等腰三角形的两边长分别为6 cm和9 cm，则腰长为__________．
解析：两种情况，一是腰长为6 cm时，底边就是9 cm，此时6＋6＞9，此三角形存在，所以腰长可以是6 cm；二是腰长为9 cm，此时9＋6＞9，此三角形也存在，所以腰长也可以是9 cm，故腰长为6 cm或9 cm.
答案：9 cm或6 cm
【例11－2】 已知等腰三角形的周长是24 cm， (1)腰长是底边长的2倍，求腰长；
(2)若其中一边长为6 cm，求其他两边长．
分析：(1)可以通过设未知数，利用周长作为相等关系，列出方程，通过求方程的解从而求出答案；(2)因为题目中没有说明这条边究竟是腰还是底边，要分两种情况考虑，并且计算结果还要注意检查是否符合两边之和都大于第三边．
解：(1)设底边长为x cm，则腰长为2x cm， 根据题意，得x＋2x＋2x＝24，解得x＝4.8， 所以腰长为2x＝2×4.8＝9.6(cm)．
(2)当长为6 cm的边为腰时，则底边为24－6×2＝12(cm)．
因为6＋6＝12，两边之和等于第三边，所以6 cm长为腰不能组成三角形，故腰长不能为6 cm.
当长为6 cm的边为底边时，则腰长为(24－6)÷2＝9(cm)， 因为6 cm,9 cm,9 cm可以组成三角形， 所以等腰三角形其他两边长均为9 cm. 12.与三角形有关的线段易错点分析
在本节内容中，易错点主要表现在以下三个方面：
(1)三角形的高、中线、角平分线都是线段，它们都有长度，这与前面所学的垂线是直线、角平分线是射线容易混淆．
(2)画钝角三角形的高时易出错，如下图三种画法都是错误的．
三种情况错误的原因都是对三角形的高的定义理解不透彻．图1中BE不垂直于边AC，错因是受锐角三角形的影响，误认为高的垂足必落在对边上；图2错在没有过点B画AC的垂线段；图3错在把三角形的高与AC边上的垂线混淆，把线段画成了射线．正确的作法是过点B向对边AC所在的直线画垂线，垂足为E.因为三角形是钝角三角形，所以垂足落在CA的延长线上，如下图所示：
(3)运用三角形三边关系时出错，只有两边之和大于第三边，才能构成三角形，才能进行其他运算，这是前提．特别是等腰三角形在没指明哪是底哪是腰时更易出错，一定要分类讨论，且必须考虑“不同情况下是否能构成三角形”．
【例12－1】 下列说法正确的是( )． A．三角形的角平分线是射线 B．三角形的高是一条垂线
C．三角形的三条中线相交于一点
D．三角形的中线、角平分线和高都在三角形内部
解析：A，B，D都是错误的，A选项一个角的平分线与三角形的角平分线有本质区别：角的平分线是射线，三角形的角平分线是线段；三角形的高也是线段，是从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段；三角形的中线、角平分线以及锐
角三角形的三条高都在三角形内部，但钝角三角形有两条高在三角形的外部，所以D也是错误的．只有C正确．
答案：C
【例12－2】 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成为12 cm和15 cm两部分，求三角形的底边长．
分析：有两种可能，一种是锐角三角形，如图(1)所示，这时AB＋AD＝15 cm，BC＋CD＝12 cm；另一种是钝角三角形，如图(2)，这时AB＋AD＝12 cm，BC＋CD＝15 cm.
图(1) 图(2)
解：(1)当三角形是锐角三角形时，
1
因为D是AC的中点，所以AD＝2AC＝11AB，所以AB＋AD＝AB＋AB＝15，解22
得AB＝10(cm)．所以AC＝10 cm，所以底边BC＝15＋12－10×2＝7(cm)，此时能构成三角形，且底边长为7 cm.
(2)当三角形是钝角三角形时，AB＋
1
AD＝AB＋2AB＝12，解得AB＝8(cm)，所以AC＝8 cm，所以BC＝15＋12－8×2＝11(cm)．因为8＋8＞11，所以能构成三角形，此时底边为11 cm.
答：底边的长为
7 cm或11 cm.