数学试卷
数法是解本题的关键． 20．（10分）如图，以△ABC边AB为直径作⊙O交BC于D，已知BD=DC． （1）求证：△ABC是等腰三角形 （2）若：∠A=36°，求
的度数．
考点： 圆周角定理；等腰三角形的判定． 专题： 证明题． 分析： （1）连接AD，由AB是⊙O的直径，得到∠ADB=90°，而BD=CD，得到△ABD是等腰三角形； （2）由∠A=36°，△ABD是等腰三角形，可得∠B，由此得到AD弧的度数． 解答： （1）证明：连接AD，∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°，即AD⊥BC， 又∵BD=CD， ∴△ABC是等腰三角形； （2）解：∵∠A=36°， ∴∠B=∠C=（180°﹣∠A）÷2=72° 所以的度数等于72°×2=144°． 点评： 本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．同时考查了圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半以及等腰三角形的判定方法． 21．（10分）如图，二次函数y=﹣2x+x+m的图象与x轴的一个交点为A（1，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C． （1）求m的值； （2）求点B的坐标．
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数学试卷
考点： 抛物线与x轴的交点． 分析： （1）直接将A（1，0）代入函数解析式求出m的值即可； （2）求出y=0时x的值，即可得出B点坐标． 2解答： 解：（1）∵二次函数y=﹣2x+x+m的图象与x轴的一个交点为A（1，0）， ∴0=﹣2+1+m， 解得：m=1； （2）由（1）得：y=﹣2x+x+1， 2则y=0时，0=﹣2x+x+1， 解得：x1=﹣，x2=1， 故B（﹣，0）． 点评： 此题主要考查了抛物线与x轴的交点，得出m的值是解题关键． 22．（12分）如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连结AC、OC、BC． （1）求证：∠ACO=∠BCD；
（2）若EB=2cm，CD=8m，求⊙O的直径．
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考点： 垂径定理；勾股定理． 分析： （1）根据垂径定理得出弧BC=弧BD，根据圆周角定理得出∠BCD=∠CAB，根据等腰三角形的性质得出∠CAB=∠ACO，即可得出答案； （2）根据垂径定理求出CE，根据勾股定理求出BC，证△BCE和△BCA相似得出比例式，代入即可求出答案． 解答： （1）证明：∵AB⊥CD，AB过O， ∴弧BC=弧BD， ∴∠BCD=∠CAB， ∵OA=OC， ∴∠CAB=∠ACO， ∴∠ACO=∠BCD； 数学试卷
（2）解：∵AB⊥CD，AB过O，AB=8m， ∴CE=DE=4m， 在Rt△CEB中，由勾股定理得：BC=∵AB为直径，AB⊥CD， ∴∠BCA=∠CEB=90°， ∵∠B=∠B， ∴△BEC∽△BCA， ∴=， =2（m）， ∴BA===10（m）， 即⊙O的直径是10m． 点评： 本题考查了相似三角形的性质和判定，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形性质，勾股定理等知识点的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力． 23．（12分）如图1，已知抛物线y=﹣x+b x+c经过点A（1，0），B（﹣3，0）两点，且与y轴交于点C．
（1）求b，c的值．
（2）在第二象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，点E为线段BC上一个动点（不与B，C重合），经过B、E、O三点的圆与过点B且垂直于BC的直线交于点F，当△OEF面积取得最小值时，求点E坐标．
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考点： 二次函数综合题． 2分析： （1）将点A（1，0），B（﹣3，0）两点代入抛物线y=﹣x+b x+c求出即可； （2）首先设P点（x，﹣x﹣2x+3），（﹣3＜x＜0）利用S△BPC=S四边形BOCP﹣S△BOC=S△BDP+S四边形PDOC2﹣×3×3进而求出即可； =OE，进而分析得出OE2（3）根据圆周角定理得出OE=OF，∠EOF=90°，利用最小时，△OEF面积取得最小值，进而得出E点在BC的中点时，即可得出答案． 数学试卷
2解答： 解：（1）∵抛物线y=﹣x+b x+c经过点A（1，0），B（﹣3，0）两点， ∴， 解得：； （2）存在． 理由如下：如图1， 2设P点（x，﹣x﹣2x+3），（﹣3＜x＜0） ∵S△BPC=S四边形BOCP﹣S△BOC =S△BDP+S四边形PDOC﹣×3×3 =（3+x）（﹣x﹣2x+3）+（﹣x﹣2x+3）×（﹣x）﹣ == ， ， ， ）； 22当x=﹣时，∴S△BPC最大=当x=﹣时，﹣x﹣2x+3=∴点P坐标为：（﹣，2 （3）如图2，∵OB=OC=3， ∴∠OBC=∠OCB=45°，而∠OEF=∠OBF=45°，∠OFE=∠OBE=45°， ∴∠OEF=∠OFE=45°， ∴OE=OF，∠EOF=90°， ∴=OE 2∴当OE最小时，△OEF面积取得最小值， ∵点E在线段BC上，∴当OE⊥BC时，OE最小， 此时点E是BC中点，∴E（22）． 22另：可设E（x，x+3），OE=x+（x+3）=2x+6x+9 ∴∴当∴E（== ， 时，S△OEF取最小值，此时）． 数学试卷
点评： 此题主要考查了二次函数的综合应用以及二次函数最值问题和图形面积求法等知识，利用圆周角定理得出EO=FO进而分析得出OE最小时，△OEF面积取得最小值是解题关键．