第1讲 等差数列、等比数列
1．(2015·新课标Ⅰ高考)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和．若S8
＝4S4，则a10＝(B )
1719
A. B. C．10 D．12 22
1
2．(2015·新课标Ⅱ高考)已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝( C )
4
11
A．2 B．1 C. D. 28
3．(2015·浙江高考)已知{an}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝__________，d＝________．
2
【答案】 －1
3
从近三年高考，特别是2015年高考来看，该部分2016年高考命题热点考向为： 考什么 怎么考 题型与难度 主要考查等差、等比数列的基题型：三种题型均可出现 1.等差(比)数列的基本运算 本量的求解 难度：基础题 主要考查等差、等比数列的定题型：三种题型均可出现 2.等差(比)数列的判定与证明 义证明 难度：基础题或中档题 主要考查等差、等比数列的性题型：选择题或填空题 3.等差(比)数列的性质 质 难度：基础题或中档题 等差（比）数列的基本运算（自主探究型）
1．(2015·湖南高考)设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则an＝________．
－
【答案】 3n1
9
2．(2015·重庆高考)已知等差数列{an}满足a3＝2，前3项和S3＝. 2
n＋1
(1)求{an}的通项公式an＝.
2
(2)设等比数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a15，求{bn}的前n项和Tn.
b1（1－qn）1×（1－2n）nTn＝＝＝2－1.
1－q1－2
【规律感悟】 等差(比)数列基本运算的关注点
(1)基本量：在等差(比)数列中，首项a1和公差d(公比q)是两个基本的元素． (2)解题思路：①设基本量a1和公差d(公比q)；
②列、解方程(组)：把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少计算量．
等差（比）数列的判定与证明（师生共研型）
3
【典例1】 (2015·广东高考)设数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*.已知a1＝1，a2＝，2
1
5
a3＝，且当n≥2时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1.
4
7
(1)求a4的值；a4＝.
8
1??
(2)证明：?an＋1－2an?为等比数列；
??
2（2n－1）2n－1
(3)求数列{an}的通项公式．∴an＝＝n－1.
2n2
[一题多变]
?1?
若题已知变为：an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)．求证：?S?是等差数列．
?n?
【解】 由an＋2Sn·Sn－1＝0，(n≥2)得 Sn－Sn－1＋2Sn·Sn－1＝0， 11即－＝2(n≥2)． SnSn－1?1?
故?S?是等差数列． ?n?
【规律感悟】 判断和证明数列是等差(比)数列的三种方法
an＋1?
(1)定义法：对于n≥1的任意自然数，验证an＋1－an?或
?an?为同一常数．
(2)通项公式法：
①若an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d或an＝kn＋b(n∈N*)，则{an}为等差数列；
－－＋
②若an＝a1qn1＝amqnm或an＝pqknb(n∈N*)，则{an}为等比数列． (3)中项公式法：
①若2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2)，则{an}为等差数列；
*
②若a2n＝an－1·an＋1(n∈N，n≥2)，且an≠0，则{an}为等比数列．
[针对训练]
(2014·全国大纲高考)数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2. (1)设bn＝an＋1－an，证明{bn}是等差数列； (2)求{an}的通项公式．
， {an}的通项公式为an＝n2－2n＋2. 等差（比）数列的性质（多维探究型）
命题角度一 与等差(比)数列的项有关的性质 【典例2】 (1)(2015·新课标Ⅱ高考)已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝( )
A．21 B．42 C．63 D．84 (2)(2015·铜陵模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝12，则a5＋a6＝( ) 126A. B．12 C．6 D. 55
【解析】 (1)本题主要考查等比数列的基本概念、基本运算与性质，意在考查考生的运算求解能力．
由于a1(1＋q2＋q4)＝21，a1＝3，所以q4＋q2－6＝0，所以q2＝2(q2＝－3舍去)， a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.故选B. (2)本题主要考查等差数列的性质am＋an＝ap＋aq.
a1＋a10
由S10＝12得×10＝12，
21212
所以a1＋a10＝，所以a5＋a6＝.故选A.
55
【答案】 (1)B (2)A
2
命题角度二 与等差(比)数列的和有关的性质 【典例3】 (1)(2014·全国大纲高考)设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6＝( )
A．31 B．32 C．63 D．64 (2)(2015·衡水中学二调)等差数列{an}中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则该数列前13项的和是( )
A．13 B．26 C．52 D．156
【答案】 (1)C (2)B
【规律感悟】 等差(比)数列的性质盘点
[针对训练]
1．(2015·广东高考)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________． 2．(文)(2015·辽宁大连模拟)在等比数列{an}中，a4·a8＝16，则a4·a5·a7·a8的值为________．
(理)(2014·广东高考)若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1
＋ln a2＋?＋ln a20＝________．
函数与方程思想求解数列中的求值问题
[思想诠释]
数列中求值问题用到函数与方程思想的常见题型：
1．求基本量：求等差或等比数列中的某些量时，常根据题设条件构建方程(组)求解． 2．值域(最值)：求等差或等比数列中的某些量的取值范围或最值时，经常选一变量将待求量表示成其函数或构建函数，从而转化为求函数的值域(最值)问题求解．
3．单调性：研究等差(比)数列单调性时，常利用研究函数单调性的方法求解．
4．比较大小：等差(比)数列中某些量的大小比较，常利用比较函数值大小的方法，如单调性法、作差法等．
[典例剖析]
【典例】 (2015·石家庄模拟)已知数列{an}是各项均为正数的等差数列．
3
(1)若a1＝2，且a2，a3，a4＋1成等比数列，求数列{an}的通项公式an；
111
(2)在(1)的条件下，数列{an}的前n项和为Sn，设bn＝＋＋?＋，若对任意的
S2nSn＋1Sn＋2
n∈N*，不等式bn≤k恒成立，求实数k的最小值．
【针对训练]
(2015·山东师大附中模拟)数列{an}的通项an是关于x的不等式x2－x＜nx的解集中正
111
整数的个数，f(n)＝＋＋?＋.
an＋1an＋2an＋n
(1)求数列{an}的通项公式；
an(2)若bn＝n，求数列{bn}的前n项和Sn；
2
7
(3)求证：对n≥2且n∈N*恒有≤f(n)＜1.
12
1．必记公式
(1)等差数列通项公式：an＝a1＋(n－1)d.
n（a1＋an）n（n－1）d
(2)等差数列前n项和公式：Sn＝＝na1＋. 22
－
(3)等比数列通项公式：ana1qn1. (4)等比数列前n项和公式：
?na1（q＝1）
?
Sn＝?a1（1－qn）a1－anq.
＝（q≠1）?1－q?1－q
(5)等差中项公式：2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．
(6)等比中项公式：a2n＝an－1·an＋1(n≥2)．
?S1（n＝1）?(7)数列{an}的前n项和与通项an之间的关系：an＝?.
?S－S（n≥2）?nn－1
2．重要性质
－
(1)通项公式的推广：等差数列中，an＝am＋(n－m)d；等比数列中，an＝amqnm.
(2)增减性：①等差数列中，若公差大于零，则数列为递增数列；若公差小于零，则数列为递减数列．
②等比数列中，若a1＞0且q＞1或a1＜0且0＜q＜1，则数列为递增数列；若a1＞0且0＜q＜1或a1＜0且q＞1，则数列为递减数列．
3．易错提醒
(1)忽视等比数列的条件：判断一个数列是等比数列时，忽视各项都不为零的条件． (2)漏掉等比中项：正数a，b的等比中项是±ab，容易漏掉－ab. 一、选择题 1．(2015·新课标Ⅱ高考)设Sn是等差数列{an}的前n项和．若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝( ) A．5 B．7 C．9 D．11 2．(2014·福建高考)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于( ) A．8 B．10 C．12 D．14 3．(2014·重庆高考)对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是( ) A．a1，a3，a9成等比数列 B．a2，a3，a6成等比数列 C．a2，a4，a8成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列 4．(2014·天津高考)设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1＝( )
11
A．2 B．－2 C. D．－ 22
1
5．(2015·辽宁大连模拟)数列{an}满足an－an＋1＝an·an＋1(n∈N*)，数列{bn}满足bn＝，
an
4
且b1＋b2＋?＋b9＝90，则b4·b6( )
A．最大值为99 B．为定值99 C．最大值为100 D．最大值为200 二、填空题 7．(2015·安徽高考)已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于________．
8．(2014·江西高考)在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为________．
三、解答题 9．(文)(2015·兰州模拟)在等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16. (1)求数列{an}的通项公式；
(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的前n项和Sn. (理)(2014·湖北高考)已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式；
(2)记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn＞60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．
10．(2015·江苏高考)设a1，a2，a3，a4是各项为正数且公差为d(d≠0)的等差数列． (1)证明：2a1，2a2，2a3，2a4依次构成等比数列；
34
(2)是否存在a1，d，使得a1，a22，a3，a4依次构成等比数列？并说明理由．
第2讲 数列求和及其综合应用
1．(2014·北京高考)设{an}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{an}为递增数列”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 ①q>1时，{an}未必是递增数列，如－1，－2，－4，－8，－16?； ②{an}是递增数列时，q不一定大于1，如－16，－8，－4，－2，－1.故选D. 【答案】 D 2．(2015·北京高考)设{an}是等差数列，下列结论中正确的是( ) A．若a1＋a2＞0，则a2＋a3＞0 B．若a1＋a3＜0，则a1＋a2＜0
5