n
【解】 ∵xn＝，
n＋1n
∴bn＝lgxn＝lg ＝lg n－lg(n＋1)，
n＋1
∴Sn＝b1＋b2＋?＋bn
＝(lg 1－lg 2)＋(lg 2－lg 3)＋?＋[lg n－lg(n＋1)] ＝－lg(n＋1)． 【规律感悟】
1．数列与函数交汇问题的常见类型及解法
(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题． (2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、分式、求和方法对式子化简变形．另外，解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解．
2．数列与不等式交汇问题的常用方法 (1)作差(商)比较．
(2)根据数列的函数特征，判断并利用其单调性． (3)利用基本不等式求最值．
[针对训练]
22
(2015·陕西汉中质检)正项数列{an}的前n项和Sn满足：S2n－(n＋n－1)Sn－(n＋n)＝0.
(1)求数列{an}的通项公式an；
n＋15
(2)令bn＝数列{bn}的前n项和为Tn.证明：对于任意的n∈N*，都有Tn＜. 22，64（n＋2）an
2222
【解】 (1)由Sn－(n＋n－1)Sn－(n＋n)＝0，得[Sn－(n＋n)](Sn＋1)＝0. 由于{an}是正项数列，所以Sn＞0，Sn＝n2＋n.
于是a1＝S1＝2，n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n. 综上，数列{an}的通项公式为an＝2n.
n＋1
(2)证明：由于an＝2n，bn＝，
（n＋2）2a2n
1n＋11?1?－2则bn＝2＝2. 2
4n（n＋2）16?n（n＋2）?1111111111
所以Tn＝×[1－2＋2－2＋2－2＋?＋]＝2－2＋2－1632435（n－1）（n＋1）n（n＋2）2
11111?15
1＋2?＝. ×1＋22－（n＋1）2－（n＋2）2?＜×?16??16?2?64
函数与方程思想求解数列中的最值问题 [思想诠释]
数列中的最值问题用到函数与方程思想的常见题型：
(1)数列中的恒成立问题：转化为最值问题，利用函数的单调性或不等式求解．
??an－1≤an，
(2)数列中的最大项与最小项问题：利用函数的有关性质或不等式组?
?an≥an＋1?
??an－1≥an，?求解． ?an≤an＋1?
(3)数列中前n项和的最值：转化为二次函数，借助二次函数的单调性或求使an≥0(an，≤0)成立时最大的n值即可求解．
[典例剖析]
【典例】 (2015·江西南昌模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S3＝6，正项数列{bn}满足b1·b2·b3·?·bn＝2Sn.
11
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)若λbn＞an对n∈N*均成立，求实数λ的取值范围．
【审题策略】 (1)由a1＝1，S3＝6求an；由b1·b2·b3·?·bn＝2Sn求bn；(2)题目涉及恒成立，联想到函数思想，构建函数，利用函数性质求解．
【解】 (1)∵a1＝1，S3＝6，∴数列{an}的公差d＝1，an＝n.
??b1·b2·b3·?·bn＝2Sn ①
由题知，?
?b1·b2·b3·?·bn－1＝2Sn－1（n≥2） ②?
①÷②得bn＝2Sn－Sn－1＝2an＝2n(n≥2)， 又b1＝2S1＝21＝2，满足上式，故bn＝2n.
n
(2)λbn＞an恒成立?λ＞n恒成立，
2
cn＋1n＋1n
设cn＝n，则＝，
2cn2n
当n≥2时，cn＜1，数列{cn}单调递减，
11
∴(cn)max＝，故λ＞.
22
1
所以实数λ的取值范围为(，＋∞)．
2
[针对训练]
an
(2015·辽宁大连模拟)数列{an}满足an＋1＝，a＝1.
2an＋11
1
(1)证明：数列{}是等差数列；
an1111n
(2)求数列{}的前n项和Sn，并证明＋＋?＋＞.
anS1S2Snn＋1
an
【解】 (1)证明：∵an＋1＝，
2an＋1
2an＋1111
∴＝，化简得＝2＋，
ananan＋1an＋1
111即－＝2，故数列{}是以1为首项，2为公差的等差数列．
anan＋1an
n（1＋2n－1）21
(2)由(1)知＝2n－1，∴Sn＝＝n.
an2
111111111111＋＋?＋＝2＋2＋?＋2＞＋＋?＋＝(1－)＋(－)＋?S1S2Sn12n1×22×3223n（n＋1）111n＋(－)＝1－＝. nn＋1n＋1n＋1
1．必记公式
(1)“基本数列”的通项公式
①数列－1，1，－1，1，?的通项公式是an＝(－1)n(n∈N*)． ②数列1，2，3，4，?的通项公式是an＝n(n∈N*)． ③数列3，5，7，9，?的通项公式是an＝2n＋1(n∈N*)． ④数列2，4，6，8，?的通项公式是an＝2n(n∈N*)．
－
⑤数列1，2，4，8，?的通项公式是an＝2n1(n∈N*)． ⑥数列1，4，9，16，?的通项公式是an＝n2(n∈N*)．
n（n＋1）
⑦数列1，3，6，10，?的通项公式是an＝(n∈N*)．
2
11111
⑧数列，，，，?的通项公式是an＝(n∈N*)．
1234n
*
(2)常用的拆项公式(其中n∈N)
12
111
＝－.
n（n＋1）nn＋1
1111
②＝?n－n＋k?.
?n（n＋k）k?1111
③＝(－)． （2n－1）（2n＋1）22n－12n＋1
1
④若等差数列{an}的公差为d，则
anan＋1
1111111
＝?a－a?；＝?a－a?. d?nn＋1?anan＋22d?nn＋2?
1111
⑤＝?n（n＋1）－（n＋1）（n＋2）?.
?n（n＋1）（n＋2）2?
1
⑥＝n＋1－n.
n＋n＋111
⑦＝(n＋k－n)．
n＋n＋kk
2n11
⑧＝n－n＋1. nn＋1（2－1）（2－1）2－12－12．重要结论
(1)常见数列的前n项和
n（n＋1）
①1＋2＋3＋?＋n＝. 2
②2＋4＋6＋?＋2n＝n2＋n. ③1＋3＋5＋?＋(2n－1)＝n2.
n（n＋1）（2n＋1）
④12＋22＋32＋?＋n2＝.
62
3333?n（n＋1）?⑤1＋2＋3＋?＋n＝
2??.
(2)数列中不等式的放缩技巧
11111
①2＜2＝?K－1－K＋1? KK－12??11111②－＜2＜－. KK＋1KK－1K
1
③2(n＋1－n)＜＜2(n－n－1)．
n
3．易错提醒
(1)裂项求和的系数出错：裂项时，把系数写成它的倒数或者忘记系数致错．
?S1，n＝1，?
(2)忽略验证第一项致误：利用an＝?求通项，忽略n≥2的限定，忘记第
?S－S，n≥2?nn－1
一项单独求解与检验．
(3)求错项数致误：错位相减法求和时，易漏掉减数式的最后一项．
①
限时训练(十一)
建议用时 40分钟 一、选择题
13
实际用时 错题档案 1．(2015·浙江高考)已知{an}是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn.若a3，a4，a8
成等比数列，则( )
A．a1d＞0，dS4＞0 B．a1d＜0，dS4＜0 C．a1d＞0，dS4＜0 D．a1d＜0，dS4＞0
【解析】 由a3，a4，a8成等比数列可得：(a1＋3d)2＝(a1＋2d)·(a1＋7d)，即3a1＋5d＝
（a1＋a4）×452
0，所以a1＝－d，所以a1d＜0.又dS4＝d＝2(2a1＋3d)d＝－d2＜0.故选B.
323
【答案】 B 2．(2015·保定调研)在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，则其通项公式为an＝( )
nn－1
A．2－1 B．2＋1 C．2n－1 D．2(n－1)
－
【解析】 由题意知an＋1＋1＝2(an＋1)，∴an＋1＝(a1＋1)·2n1＝2n，∴an＝2n－1. 【答案】 A
11
3．(预测题)已知数列{an}满足an＋1＝＋an－a2n，且a1＝，则该数列的前2 015项的22和等于( )
3 023A. B．3 023
2
C．1 512 D．3 024
11
【解析】 因为a1＝，又an＋1＝＋an－a2n， 22
1??2，n＝2k－1（k∈N*），1
所以a2＝1，从而a3＝，a4＝1，即得an＝?故数列的前2 015
2*??1，n＝2k（k∈N），
13 0213 023
项的和等于S2 015＝1 007×(1＋)＋1＝＋1＝.
222
【答案】 A 4．(2015·长春质检)设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝a2＝1，{nSn＋(n＋2)an}为等差数列，则an＝( )
n＋1n
A.n－1 B.n－1 22＋12n－1n＋1C.n D.n＋1 2－12
【解析】 设bn＝nSn＋(n＋2)an，有b1＝4，b2＝8，则bn＝4n，即bn＝nSn＋(n＋2)an
2
＝4n，Sn＋(1＋)an＝4.
n
22
当n≥2时，Sn－Sn－1＋(1＋)an－(1＋)a－＝0，
nn－1n1
2（n＋1）n＋1anan－1
所以an＝an－1，即2·＝，
nnn－1n－1an1
所以{}是以为公比，1为首项的等比数列，
n2
n－1
an1?n所以＝?，a＝n－1.故选A. n
n?2?2【答案】 A
2anan＋1＋11
5．(2015·云南第一次统一检测)在数列{an}中，an＞0，a1＝，如果an＋1是1与24－a2n
a2a3a4a100的等比中项，那么a1＋2＋2＋2＋?＋2的值是( )
234100
100101A. B. 99100
14
10099C. D. 101100
2anan＋1＋1
?(2an＋1＋anan＋1＋1)·(2an＋1－anan＋1－1)＝0
4－a2n
an－1111
?an＋1＝?an＋1－1＝?＝－1，
2－an2－anan＋1－1an－111nan1a2a100∴＝－(n－1)＝－n－1?an＝?2＝，∴a1＋2＋?＋2＝1
2100an－11n＋1nn（n＋1）
－12
11111100－＋－＋?＋－＝. 223100101101【答案】 C 二、填空题
1
6．(2014·全国新课标Ⅱ高考)数列{an}满足an＋1＝，a＝2，则a1＝________．
1－an8
1111
【解析】 将a8＝2代入an＋1＝，可求得a7＝；再将a7＝代入an＋1＝，可221－an1－an
1
求得a6＝－1；再将a6＝－1代入an＋1＝，可求得a5＝2；由此可以推出数列{an}是一
1－an1
个周期数列，且周期为3，所以a1＝a7＝.
2
1
【答案】
2
2
7．(理)若数列{n(n＋4)()n}中的最大项是第k项，则k＝________．
3
2＋222
【解析】 设数列为{an}，则an＋1－an＝(n＋1)(n＋5)()n1－n(n＋4)()n＝()n[(n2＋6n
3333
n2
＋5)－n2－4n]＝n＋1(10－n2)，
3
所以当n≤3时，an＋1＞an；当n≥4时，an＋1＜an.
因此，a1＜a2＜a3＜a4，a4＞a5＞a6＞?，故a4最大，所以k＝4. 【答案】 4
?1?
(文)(2015·江苏高考)设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列?a?前
?n?
10项的和为________．
【解析】 由a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)得，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋?＋(an
11n（n＋1）121
－an－1)＝1＋2＋3＋?＋n＝，则＝＝2?n－n＋1?，故数列{}前10
2ann（n＋1）an??
11111120
项的和S10＝2(1－＋－＋?＋－)＝2(1－)＝.
2231011111120
【答案】
11
8．(2015·福建高考)若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于________．
【解析】 因为a，b为函数f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的两个不同零点，所以2
?p－4q＞0，
【解析】 由题意可得，a2n＋1＝
?
?a＋b＝p，所以a＞0，b＞0，所以数列a，－2，b不可能成等差数列，数列a，b，－2??ab＝q.
不可能成等比数列，数列－2，a，b不可能成等比数列．不妨取a＞b，则只需研究数列a，
15