???a－2＝2b，?a＝4，??a＝－2，
b，－2成等差数列，数列a，－2，b成等比数列，则有?解得?或?
?ab＝4，?b＝1?b＝－2???
??p＝5，
(舍去)，所以?所以p＋q＝9.
?q＝4，?
【答案】 9
三、解答题 9．(2015·湖北高考)设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q.已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.
(1) 求数列{an}，{bn}的通项公式；
an(2) 当d>1时，记cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.
bn
【解】 (1)由题意有， ??10a1＋45d＝100，??2a1＋9d＝20，?即? ???a1d＝2，?a1d＝2，
a＝9，
?a1＝1，??an＝2n－1，?1??解得?或?2故?或 n－1
??d＝2，b＝2??n??d＝9.1
an＝（2n＋79），
9
n－1
2??.bn＝9·?9????
2n－1－
(2)由d>1，知an＝2n－1，bn＝2n1，故cn＝n－1，于是
2
2n－13579
Tn＝1＋＋2＋3＋4＋?＋n－1，①
22222
2n－1113579
Tn＝＋2＋3＋4＋5＋?＋n.② 2222222①－②可得
2n－12n＋31111
Tn＝2＋＋2＋?＋n－2－n＝3－n， 222222
2n＋3
故Tn＝6－n－1.
2
10．(2014·山东高考)已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
4n－
(2)令bn＝(－1)n1，求数列{bn}的前n项和Tn.
an an＋1
2×1
【解】 (1)因为S1＝a1，S2＝2a1＋×2＝2a1＋2，
2
4×3
S4＝4a1＋×2＝4a1＋12，
2
由题意得(2a1＋2)2＝a1(4a1＋12)， 解得a1＝1， 所以an＝2n－1.
4n4n－－
(2)bn＝(－1)n1＝(－1)n1 anan＋1（2n－1）（2n＋1）11?n－1?＋＝(－1)
?2n－12n＋1?.
当n为偶数时，
16
11??11?11112n＋＋1＋?－?＋?＋?＋?Tn＝?－＝1－＝. ?3??35??2n－32n－1??2n－12n＋1?2n＋12n＋1
当n为奇数时，
11??11?1112n＋21＋＋1＋?－?＋?＋?－?Tn＝?＋＝1＋＝. ?3??35??2n－32n－1??2n－12n＋1?2n＋12n＋1
2n＋2
，n为奇数，2n＋1
所以Tn＝
2n
，n为偶数.2n＋1
－
2n＋1＋（－1）n1
(或Tn＝)
2n＋1
?????解题策略四：中档大题规范练——数列解答题的解法
《考试大纲》的特别要求如下：理解等差数列、等比数列的概念，掌握等差数列、等比
数列的通项公式与前n项和公式，能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．
高考中数列解答题的求解主要有以下几个特点：
(1)与等差、等比数列基本量有关的计算：可根据题意列方程(方程组)或利用等差、等比数列的性质求解；
(2)与求和有关的题目：首先要求通项公式，并根据通项公式选择恰当的求和方法(如错位相减法、裂项相消法、分组求和法等)；
??S1，n＝1，
(3)含Sn的式子：要根据题目特征利用an＝?进行转化；
?Sn－Sn－1，n≥2?
(4)与递推数列有关的问题：要能合理转化，使之构造出新的等差、等比数列； (5)与数列有关的不等式问题：可根据数列的特征选择方法(如比较法、放缩法等)； (6)与函数有关的问题：应根据函数的性质求解． 【典例】 (12分)(2015·新课标Ⅰ高考)Sn为数列{an}的前n项和，已知an>0，a2n＋2an
＝4Sn＋3.
(1)求{an}的通项公式；
1
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和．
anan＋1
[解题流程]
[规范解答] (1)由
2
可得a2n＋1－an＋2(an＋1－an)＝4an＋1，即
2
2(an＋1＋an)＝a2n＋1－an＝(an＋1＋an)(an＋1－an)． 由于an>0，可得an＋1－an＝2.(4分) 又a21＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)或a1＝3.
所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an＝2n＋1.(6分) (2)由an＝2n＋1可知
11111
bn＝＝＝?2n＋1－2n＋3?.(9分)
?anan＋1（2n＋1）（2n＋3）2?
设数列{bn}的前n项和为Tn，则
17
a2n＋2an＝4Sn＋3，可知a2n＋1＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.
Tn＝b1＋b2＋?＋bn
11??111??11?－－＋－＋?＋?＝??2??35??57??2n＋12n＋3??
n
＝.(12分)
3（2n＋3）[解题模板]
求解数列通项和求和的模板
第1步：由等差(比)数列或递推公式求通项； ↓
第2步：根据和的表达式，选择适当的方法求和； ↓
第3步：明确规范地表述结论． [反思感悟]
求解有关数列的综合题，首先要善于从宏观上整体把握问题，能透过给定信息的表象，揭示问题的本质，然后从微观上明确解题方向，化难为易，化繁为简，注意解题的严谨性．数列问题对能力的要求较高，特别是运算能力、归纳猜想能力、转化能力、逻辑推理能力．近几年高考加强了对数列推理能力的考查，应引起重视．
[针对训练]
2
1．(2015·河南洛阳统考)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，?n∈N*，2Sn＝an＋an. (1)求数列{an}的通项公式；
1
(2)令bn＝，设{bn}的前n项和为Tn，求T1，T2，T3，?，T100中有理
anan＋1＋an＋1an
数的个数．
【解】 (1)当n＝1时，2a1＝a21＋a1， 2
∴a1－a1＝0.∴a1＝1或0. ∵an＞0，∴a1＝1. 当n≥2时，2Sn＝a2n＋an， 2Sn－1＝a2n－1＋an－1， 两式相减得
2
2(Sn－Sn－1)＝a2n－an－1＋an－an－1，
2
∴2an＝an－a2n－1＋an－an－1， 22
∴an－an－1－(an＋an－1)＝0， ∴(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0， ∵an＞0，
∴an＋an－1≠0， ∴an－an－1＝0，
∴{an}是以1为首项，1为公差的等差数列． ∴an＝1＋(n－1)×1＝n.
1
(2)∵bn＝，
anan＋1＋an＋1an
1
∴bn＝
nn＋1＋（n＋1）n1
＝
nn＋1（n＋n＋1）
＝＝
n＋1－nnn＋1（n＋1＋n）（n＋1－n）n＋1－n
nn＋111＝－.
nn＋1
18
∴Tn＝b1＋b2＋b3＋?＋bn
11111111
＝(1－)＋(－)＋(－)＋?＋(－)＝1－.
22334nn＋1n＋1
在T1，T2，T3，?，T100中，有理数有T3T8，T15?，T99，共9个． 2．(2015·山东实验中学模拟)已知数列{an}是各项均为正数的等差数列，其中a1＝1，且a2，a4，a6＋2构成等比数列；数列{bn}的前n项和为Sn，满足2Sn＋bn＝1.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)如果cn＝an·bn，设数列{cn}的前n项和为Tn，是否存在正整数n，使得Tn＞Sn成立，若存在，求出n的最小值，若不存在，说明理由．
【解】 (1)设数列{an}的公差为d， 依条件有a24＝a2(a6＋2)，
即(ad)2＝(ad)(a1
1＋31＋1＋5d＋2)，解得d＝－2
(舍)或d＝1，
所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)＝n.
由2S1
n＋bn＝1，得Sn＝2
(1－bn)，
当n＝1时，2S1
1＋b1＝1，解得b1＝3
，
当n≥2时，b12(1－b1111
n＝Sn－Sn－1＝n)－2(1－bn－1)＝－2bn＋2bn－1，所以bn＝3bn－1，
所以数列{b11
n}是首项为3，公比为3
的等比数列，
故b1
n＝3
n.
(2)由(1)知，cn
n＝anbn＝3
n，
所以T13＋2×132＋3×132＋?＋n×1
n＝1×3
n①
13T＝1×132＋2×133＋3×134＋?＋n×1
n3
n＋1② ①－②得23T11111
n＝3＋32＋33＋?＋3n－n×3n＋1
11＝3－3n·13－n×1n＋11－13 3＝12－11n
2·3n－3
n＋1， 所以T331n132n＋31
n＝4－4×3n－2×3n＝4－4×3n.
1（1－1n）又S3311
n＝1－1＝2－2×3n，
3
所以TS12n＋11
n－n＝4－4×3
n，
当n＝1时，T1＝S1，
当n≥2时，14－2n＋14×1
3
n＞0，所以Tn＞Sn，
故所求的正整数n存在，其最小值是2.
19
专题检测(四)
(时间60分钟，满分100分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分) 1．(2015·重庆高考)在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝( ) A．－1 B．0 C．1 D．6
【解析】 由等差数列的性质知a2＋a6＝2a4，所以a6＝2a4－a2＝0.故选B. 【答案】 B 2．(2014·全国新课标Ⅱ高考)等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝( )
n（n＋1）n（n－1）
A．n(n＋1) B．n(n－1) C. D.
22
2
【解析】 因为a2，a4，a8成等比数列，所以a4＝a2·a8，所以(a1＋6)2＝(a1＋2)·(a1＋
n（n－1）
14)，解得a1＝2.所以Sn＝na1＋d＝n(n＋1)．故选A.
2
【答案】 A
S4S63．(2015·河北唐山统考) 设Sn是等比数列{an}的前n项和，若＝3，则＝( )
S2S4
73
A．2 B. C. D．1或2
310
【解析】 设S2＝k，S4＝3k，由数列{an}为等比数列(易知数列{an}的公比q≠－1)，得S2，S4－S2，S6－S4为等比数列，又S2＝k，S4－S2＝2k，∴S6－S4＝4k，
S67k7
∴S6＝7k，∴＝＝.故选B.
S43k3
【答案】 B
4．等比数列{an}的公比q＝2，a1＋a2＋a3＝21，则a3＋a4＋a5等于( ) A．42 B．63 C．84 D．168
【解析】 a3＋a4＋a5＝q2(a1＋a2＋a3)＝4×21＝84.故选C. 【答案】 C 5．(2015·山东泰安一模)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝－11，a5＋a9＝－2，则当Sn取最小值时，n＝( )
A．9 B．8 C．7 D．6
【解析】 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， ????a2＝－11，?a1＋d＝－11，?a1＝－13，??由得，解得? ?a5＋a9＝－2，??2a1＋12d＝－2?d＝2.??∴an＝－15＋2n.由an＝－15＋2n≤0，
15
解得n≤.又n为正整数．∴当Sn取最小值时，n＝7.故选C.
2
【答案】 C 6．(2015·吉林集安市高三检测)等比数列{an}满足an＞0，n∈N*，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋?＋log2a2n－1等于( )
A．n(2n－1) B．(n＋1)2 C．n2 D．(n－1)2
2nn
【解析】 a5·a2n－5＝a2n＝2，又an＞0，∴an＝2.
－
又log2a2n－1＝log222n1＝2n－1，
n[1＋（2n－1）]2
∴log2a1＋log2a3＋?＋log2a2n－1＝1＋3＋5＋?＋(2n－1)＝＝n.故选C.
2
【答案】 C 7．(2015·山东济宁微山第一中学二模)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a10＋a11＝10，
20